文/陳根

今年高考由于疫情推遲了一個月，這與往年相比似乎顯得尤為不同。但相同的是，每年高考的數學卷都會成為被熱議的經典話題。以江蘇和浙江為代表，“數學難，難于上青天”甚至成為了不少考生由衷發出的心聲。倘若日后選擇了一個與數學不太相關的專業，高考的數學水平甚至可以代表部分人的數學巔峰。而選擇一個與數學相關的專業，未來更可能變成一出“我待數學如初戀，數學虐我千百遍”的長久虐戀。

互聯網上長期流行著一種“數學有限”的態度，大家普遍認為數學在生活中的實用性有限。日常生活只需要掌握簡單的算術就夠了，而高等數學、積分微分等離生活實在太過遙遠。是否有必要了解數學，這取決于它是否有利于日常生活和工作的進行。

真的是這樣嗎？為什么會這樣？

數學的實用與超越

在《西方文化中的數學》中，M·克萊運用歷史方法研究數學的發展。他認為，數學一直是一種主要的文化力量，是一種理性的精神。正是這種精神，激發、鼓舞人類的思維，也正是這種精神，決定性地影響人類社會的物質、文化生活。毫不夸張地說，這是一門關于人的本性的科學，和哲學類似，數學也是本體論的學科，它盡力探求和確立已獲得知識的最深刻、最完美的內涵。

西方傳統數學的研究者多是學者，且多與西方哲學等文化形式息息相關。數學被看作是思維訓練的有效工具，算術與幾何是中世紀學校教育中的兩門必修課，即七藝中的兩個，這就從制度上保證了數學能夠進入精英知識分子的思想世界。更重要的是，西方傳統在文化上對數學的重視，使得數學常被視為理念在塵世的代表。甚至有人認為上帝就是一個幾何學家，西方歷史上的數學一直與哲學思辨甚至世界觀緊密相關。

在西方文化環境下，數學與整個世界觀密切相關，以至于數學對現代哲學也產生了巨大的影響。例如，數學哲學中的基礎運動與科學哲學的相互影響，對數學基礎的研究，形成羅素的邏輯主義、布勞爾的直覺主義和希爾伯特的形式主義等流派。西方文化在某種意義上可以說是數學文化，所以，西方的數學在歷史上一直受到知識精英階層的關注，其數學發展的一個重要的外在動力就是滿足知識分子思辨愛好和文化訴求。

區別于西方傳統數學依賴的文化訴求，中國傳統數學的發展更多依賴于實用訴求。中國古代數學的研究者多是專門服務于朝廷的天文官員或監督土木工程的生產官員或經濟官員等，這些人最關心的是實用而不是思辨。中國古代的數學實際上游離于大多數精英知識分子的思考范圍，只是統治階級用來收稅或戰爭的具體工具。

實際上，中國傳統數學訴求于實用性是不得己而為之。中國傳統數學的研究者也提出數學研究合于天道的觀點，但是，占主導地位的儒釋道傳統并不關心數學。《孫子算經》序中：“夫算者，天地之經緯，群生之元首，五常之本末，陰陽之父母，星辰之建號，三光之表里，五行之準平，四時之終始，五物之祖宗，六藝之綱紀。”但這終究成為了數學研究者的一廂情愿，在禮樂射馭書數這六藝中數依舊排在最末，四書五經更是忽視了數學的重要性。

盡管我國的現代數學教學提出了實用與理論并行的主張，從1952年的《中學數學教學大綱（草案）》首次在教學大綱中明確提出“基礎知識”和“基本技能”的教學理念，到2011年版的《義務教育數學課程標準》再度延伸了數學的教學理念，明確列出在原有的“基礎知識”與“基本技能”外，新增加了“基本思想”和“基本活動經驗”。但基于實用主義的數學傳統，仍能看出中西數學教育的差異，即重技算輕理論。

如陳方正在《繼承與叛逆：現代科學為何出現于西方》中所言：中國與西方數學的根本差別，即前者只重程序，而不講究直接、詳細、明確的證明。從幼兒園的“珠心算”到考研的各種偏題難題，處處體現了這種功利實用傾向和計算技能崇拜。這一朵偏見的烏云遮蔽了數學的本質精神，帶來了三個嚴重的后果。

第一，不管怎么提高數學在基礎教育中的重要性，國民的科學精神和思維能力依然令人失望；第二，中學教育和大學教育脫節嚴重，這一點主要體現在科研層次上；第三，大多數人對數學不感興趣，認為“數學有限”，甚至出現數學TPSD和“數學虐戀”的情節。

那么是否有可能，通過重新審視數學的起源與發展，把數學當作我們社會的一種基本文化活動，進而解決這些重要問題呢？當我們開始把數學當作一門語言、一種邏輯思維方式，我們或許能夠觸及數學的本質和靈魂。

數學的自我超越

數學的出現，是人類文明非常重要又不甚容易的一步，而這一步初看起來卻又顯得那么的不合理和不自然。這是由于數學所確立的思維方式與人類在此前一切領域里的習慣做法是完全違背的。

在古早，人類主要憑靠的是感覺和經驗，感覺經驗一度被認為是知識的唯一可靠的源頭。事實上，通過觀察、實驗、歸納和類比，人類在生活實踐中也總結了許多頗為可靠的知識。

而有著“科學之祖”之稱的泰勒斯在數學方面劃時代的引入了命題證明的思想，它標志著人們對客觀事物的認識從經驗上升到理論，這在數學史上是一次不尋常的飛躍。

泰勒斯的“萬物起源于水又復歸于水”的自然觀在今天看來是十分粗陋的。但是，這句話的貢獻卻是偉大的。其意義在于，從思維方式上，泰勒斯提出了一個普遍性的命題，他追求和找到的萬物的本源是物質性的本源，而不是其它任何精神的東西。他力求從自然界本身說明自然界——用水的無定形和流動性來描繪自然界的生成和變化，這種超越經驗的抽象思維和綜合思考開創了人類以科學分析和哲學概括認識世界的新紀元。

近代科學始于哥白尼“日心說”。“哥白尼革命”在科學之外產生了一個更加深刻的影響，那就是它再一次大幅度地拉開了數學和科學與日常經驗的距離。這也意味著，數學和科學的真實與感覺和經驗的真實可以是完全背離的，它能夠校正、改造甚至徹底顛覆人類的感覺和經驗。此后的數學研究，通過發現自然界的數學關系，摧毀了宗教的基礎，也促成了思想的解放。

伽利略的數學研究方法，奠定了近代科學的基礎。他用數學公式的推理代替舊的研究方法。首先，他從現象中推導出一般的運動原理；其次，把原理中的基本性質推廣到所有物質實體；最后，關于現象的定量描述取代了對現象的定性解釋，而后的牛頓便運用這種研究方法發現了萬有引力定律。

這也使數學放在公理化的系統中，用公理化的演繹方法，創造出了獨屬數學的特殊語言。數學語言的要求是與自然語言及其運用方式背道而馳的，自然語言以其對復雜變化的適應性為日常生活所必需，為文學藝術所借重，但卻無法在其上充分展現公理化系統中那種大規模邏輯演繹的力量。

而抽象符號把數學從自然語言中解放出來，實質上它洗滌掉了論證和演算中那些經驗不確定性的殘余，從中錘煉出一種清晰確切、干凈利落的數學語言。公理化系統邏輯演繹的全部力量只有在這樣千錘百煉、永不變形的數學語言上才能貫徹到底。

數學語言代表了一種清澈的思維范式，盡管自然科學和社會科學還無法做到這樣。但我們起碼應該知道這么一個絕對的標準：清晰表達、理性論證和知識體系建構的標準確實地存在著，且已經被數學展示出來，作為一個外在的獨立參照物對我們日常生活和科學研究起著重要作用。

至此，我們就完成了一個對數學的起源與發展重新審視的過程。一方面，數學作為一種文化的力量和其所代表的理性精神具有超越實用主義的意義，這在很大程度上影響了國民的科學精神和思維能力。

另一方面，現代數學和科學極富穿透性的抽象能力，使得人類創造出大自然中永遠不可能出現的柏拉圖式的理念世界和層出不窮、不斷翻新的技術系統，這也大規模地改變了我們的現實生活和精神生活。數學的出現，是人類文明非常重要又不甚容易的一步，數學學習也和日常生活相互對照、相互啟發、相互協作，從而把人類帶到一個更為廣闊的天地。