三次？遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠

永遠(yuǎn)不要以為，洗個(gè)兩三次就能把牌洗開了。很多撲克牌小魔術(shù)就利用了三次洗牌遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能把牌洗開的秘密。比方說，我拿出一副新牌給你，由你來負(fù)責(zé)洗牌。洗一次。再洗一次。你覺得還沒洗開對(duì)吧，那就再洗一次。然后，請(qǐng)你偷偷看一眼最上面的那張牌，記下它的花色和點(diǎn)數(shù)，然后把它插到這摞牌中間某個(gè)位置去，再把整副牌給我。我便能挑出這張被動(dòng)過的牌。

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其實(shí)完全不需要特別的作弊方式。魔術(shù)的原理正如上文所說：把一摞排列有序的牌洗三遍，并不會(huì)讓整副牌完全無序，排列順序會(huì)有一個(gè)很強(qiáng)的規(guī)律。移動(dòng)最上面一張牌的位置會(huì)破壞掉這個(gè)規(guī)律，從而露出馬腳來。

為了更方便地做進(jìn)一步說明，我們下面只用 13 張牌來舉例。由于這是一副新牌，初始時(shí)這 13 張牌是有序的：

假設(shè)洗一次牌，是規(guī)律的把上面這個(gè)序列分成前后兩半，然后交錯(cuò)構(gòu)成一個(gè)新的序列：

那么洗完一次牌后，依次尋找 A, 2, 3, ...…, J, Q, K 的位置，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它們形成了兩個(gè)“上升序列”（分別用兩種顏色標(biāo)了出來）。

那么，再洗一次牌會(huì)對(duì)這個(gè)序列造成什么影響呢？容易看出，第二次洗牌將會(huì)把每個(gè)上升序列都截成兩半，然后再次相交錯(cuò)，得到四個(gè)上升序列（分別用四種顏色標(biāo)了出來）：

如果此時(shí)把末尾的那張 7 移到中間去，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這會(huì)打破“四個(gè)上升序列”的規(guī)律。因此，我們很容易辨認(rèn)出，在下面的撲克牌序列中，7 本該放在后面：

但是在上面的例子中，這些上升序列都很短，理論上平均長(zhǎng)度僅為 13 / 4 = 3.25。因此如果對(duì)方洗牌技術(shù)不佳，魔術(shù)就有出錯(cuò)的可能。不過，如果把 52 張牌洗三次，將產(chǎn)生 8 個(gè)上升序列，平均每個(gè)上升序列的長(zhǎng)度為 52 / 8 = 6.5，魔術(shù)表演的問題就不大了。

五次洗牌也洗不均勻

我們可以借助“上升序列”的思路來證明，五次洗牌也不能把牌徹底洗均勻，因?yàn)橛幸恍┡帕杏肋h(yuǎn)不能僅用五次洗牌得到。不妨假設(shè)初始時(shí)撲克牌的順序是 1, 2, 3, ……, 51, 52，五次洗牌后最多會(huì)產(chǎn)生2^5 = 32 個(gè)上升序列。但是 52, 51, ……, 3, 2, 1 這個(gè)排列中有 52 個(gè)上升序列，因此五次洗牌是絕對(duì)洗不出這樣的排列的。事實(shí)上，所有上升序列數(shù)量超過 32 的排列都是五次洗牌無法得到的，這就證明了五次洗牌也不能把牌洗均勻。

看來，要想把牌洗開，六次是必需的了。

七次洗牌才足夠

那么，究竟要洗多少次牌，才能讓所有排列出現(xiàn)的概率大致相同呢？你別說，還真有人做過這樣的研究。

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1992 年，佩爾西·戴康尼斯（Persi Diaconis），美國(guó)數(shù)學(xué)家兼專業(yè)魔術(shù)師，與哥倫比亞大學(xué)的戴夫·拜耳（Dave Bayer）一道，為交叉洗牌法建立了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，分析了包括上升序列在內(nèi)的撲克牌排列性質(zhì)，定義了 m 次洗牌后得到的排列分布與平均分布之間的“總變差距離”，最后發(fā)表了一篇 20 頁長(zhǎng)的論文。他們計(jì)算出，當(dāng)撲克牌有 52 張，洗牌次數(shù)分別為 1, 2, ...…, 10 時(shí)，總變差距離分別為 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 0.924, 0.614, 0.334, 0.167, 0.085 和 0.043?？梢?，五次洗牌才能讓整副牌呈現(xiàn)出隨機(jī)性，直到第七次洗牌才會(huì)讓隨機(jī)性顯著增加；并且在此之后，總變差距離將大致以 1/2 的比例依次遞減。因而他們的結(jié)論就是：七次洗牌才足夠隨機(jī)。

他們還對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了漸近意義上的分析：當(dāng) n 足夠大時(shí)，需要的洗牌次數(shù)大約為 3 log2n / 2。

如果你不是要變魔術(shù)而只想玩游戲，建議開一盒新牌之后來個(gè)漫天花雨，然后撿起來，可保萬無一失……

作者：matrix67

一個(gè)AI

這樣說來，還是老祖宗機(jī)智。

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