作為自然科學的基礎、工程技術的先導、國民經濟的工具，“數學”曾經被伽利略稱為“書寫宇宙的語言”，其所用的文字是三角形、圓和其他幾何圖形。

亞里士多德則認為，數學能促進人們對美的特性————數值、比例、秩序等的認識。

德國數學家庫默爾直言：“一種特別的美統治著數學王國，這種美與藝術美的相似性不如與自然美的相似性那么大，它反映了具有抽象能力的思想，它也會得到人們的欣賞，這一點很像自然中的美。”

古往今來，數學美一直是一個值得探討的話題。數學的簡潔性、抽象性、和諧性、奇異性等諸方面均展現著自身的美，數學也正是在不斷追求完美的過程中孕育、創造并發展的。

荷蘭畫家梵高的后期作品里，可以發現一些漩渦式的團。據《泰晤士報》報道，墨西哥物理學家喬斯·阿拉貢經過研究發現，這些漩渦與科學家用來描述湍流現象的數學公式不謀而合。

吳振奎教授也一直在思考數學之美到底美在哪里，并留意“數學美”的文字與資料，最終撰成《美妙的數學》一書，該書以數學實例揭示數學潛在的規律，同時探索用美學原理指導數學創造和發現的途徑，集中展現數學中的趣、秘、異、美和它的古老、嚴謹、實用。

古老的數學，有說不完的故事，也有解不開的難題。今天就讓小北帶大家從圖片走進不一樣的數學之美吧！

01

“黃金數”是幾何學中的瑰寶

巴特農神廟，神廟的長與高之比約為0.618

0.618被達·芬奇稱為“黃金數”，而“黃金分割”則被天文學家開普勒贊為幾何學中的“兩大瑰寶之一”（另一件瑰寶“勾股定理”）。

顧名思義，黃金數被賦予黃金一樣的熠熠光彩和不菲價值，受到了人們廣泛的歡迎。

事實上，黃金比值一直統治著古代中東地區和中世紀時期的西方建筑藝術，無論是古埃及的金字塔，還是古雅典的巴特農神廟；無論是印度的泰姬陵，還是巴黎的埃菲爾鐵塔，這些世人矚目的建筑都是運用黃金分割比例原理創作的偉大藝術品。

—些珍貴的名畫佳作、藝術珍品也處處體現了黃金分割——它們的主題大都在作品的黃金分割點處（對于繪畫、雕塑、建筑等藝術來講，主題中的0.618有時表現在橫向，有時表現在縱向。只要你肯仔細尋覓，便不難發現這個事實）。

在米勒的名畫《拾穗者》中，人們發現其構圖中運用了黃金分割。

對于某些音樂、電影、文學作品，其中樂章、故事、情節的高潮往往在全曲、全劇、全書的0.618前后。

更有趣的是，人體中有著許多黃金分割的例子，比如：人的肚臍是人體全長的黃金分割點，而膝蓋又是人體肚臍以下部分體長的黃金分割點，甚至有人竟以此標準去衡量一個人的體形是否標準或健美。

達·芬奇在《維特魯威人》這幅畫中，把人體與幾何中最完美而又簡單的圖形（圓和正方形）聯系到了一起，圖中還蘊涵著黃金分割（比）。

達·芬奇《維特魯威人》，人的身高是按0.618畫的，其他部位也按特定比例標準繪制，比如雙手展開的寬度等于身高。

02

美和“對稱”緊密相連

“對稱”概念最初源于幾何，如今它的含義已遠遠超出幾何范疇。對稱也是一種和諧美，畢達哥拉斯、柏拉圖所認為的宇宙結構最簡單的基元——正多面體是對稱的；他們喜歡的圖案五角星也是對稱的；圓是最簡單的封閉曲線，也是一種最完美的對稱圖形。

德國著名數學家魏爾斯特拉斯說“美和對稱緊密相連”，從建筑物外形到日常生活用品，從動植物外貌到生物有機體的構造，從化合物的組成到分子晶體的排布……其中皆有對稱。

北京天壇的建筑呈現對稱結構

古希臘人十分留意各種“對稱”現象，以致他們竟創立一種學說，認為世界一切的規律都是從對稱來的。他們覺得最對稱的東西是圓，所以他們把天文學中的天體運動軌道畫成圓的，后來圓上加圓，這一來就發展成為希臘后來的天文學。

開普勒研究天體運行時，再一次用上對稱觀點。他同時發現，用圓上加圓對天體運行規律解釋時并不可行，但是將圓換成橢圓就可以了——他是受到希臘人想要把一切東西視為極端對稱思想的影響。

倒影看上去是一種最生動的對稱

“對稱”的概念是極為重要。20世紀的研究發現：對稱的重要性在與日俱增，這從某個方面也說明了希臘人想法的合理性。

比如在動力學問題中，按照對稱觀點來考慮可以得到許多重要結論。例如一個氫原子中，一個電子圓形軌道是原子核作用在電子上的庫侖力的對稱結果和證據。這里“對稱”意味著在所有方向上力的大小都一樣。

在中國，對聯是一種國粹，雅稱“楹聯”，其文字簡潔，意義深邃，對仗工整、平仄協調，堪稱中華民族的文化瑰寶。從文字個數和寓意上看，對聯也是一種對稱。

03

“圓”是最美的圖形

詩人但丁曾贊美道：“圓是最美的圖形”。從古至今，人們對圓有著特殊親切的情感。古錢幣、徽章、某些圖案設計中，皆可找到圓。這在某種程度上是基于圓的完美與簡潔，其實圓也是一個最完美的對稱（軸對稱和中心對稱）圖形。

蜘蛛網上的水滴

數學中人們對于簡潔的追求永無止境。正如牛頓所說：“數學家不但更容易接受漂亮的結果，不喜歡丑陋的結論，而且他們也非常推崇優美與雅致的證明，不喜歡笨拙與繁復的推理。”

與圓有關的圖形還有很多，比如圓錐、圓柱、球……與圓有關的數學命題，更是不勝枚舉。

古希臘學者阿基米德死于進攻西西里島的羅馬士兵之手。人們為紀念他，便在其墓碑上刻上“球內切于圓柱”的圖形，以紀念他發現“球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的三分之二”這一定理。

傳說阿基米德正在全神貫注地畫幾何圖，一名羅馬士兵闖了進來，阿基米德疾聲喝道“別動我的圓！”士兵用利劍刺殺了阿基米德。

把一些重要或知名的數字寫成一個圓的螺線形（且由大到小螺旋式順時針描繪），這種圖形常會是令人賞心悅目的。

1994年由一些破譯密碼志愿者組成的小組成功破譯了一個有128位數字的密碼，密碼破譯后譯為："The magic words are squeamish ossifrage"（意為“魔術的語言是易受驚嚇的髭兀鷹”）。

人們把這個數寫成—個似乎圓形的螺線形狀，且數字字體從大漸次變小排列，新穎且極富動感。

04

分形——怪異曲線的數學分支

微積分發明之后，數學家們為了某種目的而臆造的曲線，長期以來一直視為數學中的“怪胎”（從和諧與否角度看），如構造連續但不可微函數、周長無窮所圍面積為零的曲線等。

然而這一切卻被慧眼識金的數學家視為珍寶，從某些角度考慮它們又真的被看成數學中的“美”。人們將它們經過加工、提煉、抽象、概括而創立了一門新的數學分支——分形。

分形幾何是美籍法國數學家芒德布羅在20世紀70年代創立的一門數學新分支，它研究的是廣泛存在于自然界和人類社會中一類沒有特征尺度卻有著相似結構的復雜形狀和現象。

它與歐氏幾何不同，歐氏幾何是關于直覺空間形體關系分析的一門學科，它研究的是直線、圓、正方體等規則的幾何形體，這些形體都是人為的。但是，“云彩不是球體、山嶺不是錐體、海岸線不是圓周”。

分形圖示例

20世紀60年代英國《科學》雜志刊載芒徳布羅的文章《英國海岸線有多長？》。這個看似不是問題的問題，仔細回味后卻會令人大吃一驚：試想，除了能給岀如何估算的方法性描述外卻無肯定的答案——海岸線長會隨著度量標度（或步長）的變化而變化。

因為人們在測量海岸線長時（注意它是一條不規則曲線），總是先假定一個標度，然后用它沿海岸線步測一周得到一個多邊形，其周長可視為海岸線的近似值：顯然由于標度選取的不同，海岸線長的數值不一，且標度越細密，海岸線數值越大。

確切地講，當標度趨向于0時，海岸線長并不趨向于某個確定的值而會變得無窮大（無窮不是數，而是一個極限過程）。

海岸線測量示意圖

許多相關的分形會產生漂亮的令人感興趣的圖形，美國著名物理學家惠勒說：“可以相信，明天誰不熟悉分形，誰就不能被認為是科學上的文化人！”

05

用“彭羅斯瓷磚”填滿無限

數學中“用有限來填滿無限”是一個有趣的話題。20世紀70年代，英國物理學家（也是有時把數學作為娛樂消遣的數學家）彭羅斯開始有興趣研究在同一張平面上用不同的瓷磚鋪設的問題。

1974年，當他發表結果時，人們都大吃一驚。文中他確定了三類這種瓷磚（下稱彭羅斯瓷磚），第一類兩種分別為風箏形和鏢形，它們是由同一個菱形剪出的；第二類是由邊長相同、胖瘦不一的兩種菱形組成的（有趣的是它們的面積比恰為0.618）；第三類則由正五邊形、菱形、五角星形、黃冠形四種圖形組成。

這種瓷磚的奇妙之處在于：用它們中的每一類皆可無重疊又無縫隙地鋪滿平面，同時鋪設結構不具“平移對稱性”，也就是說，從整體上看圖形不重復。

更為奇妙的是，利用彭羅斯瓷磚進行鋪砌時，還可從鋪砌的圖形中找出上述瓷磚自身的放大“克隆”。

06

莫比烏斯帶

一張紙，一塊布，你可以根據它們的形狀區分它的正面和反面，可現實生活中是否存在沒有正反面的曲面？

把一條長的矩形紙帶扭轉180°后，再把兩端粘起來，這就成了一個僅有一個側面的曲面（無正反面），它被人們稱為莫比烏斯帶，由德國數學、天文學家莫比烏斯在1858年發現。

莫比烏斯帶的形成圖示：矩形帶扭轉180°，兩端粘起來，得到莫比烏斯帶。

莫比烏斯帶的出現，使人們對于正、反面概念有了新的認識。從另外的角度看，這種曲面是一條永遠走不到盡頭的（有限）曲面。

一支筆沿莫比烏斯帶表面移動（不離開曲面），不久它又回到起點。

模仿莫比烏斯帶而設計的兒童游戲設施

一只螞蟻可以爬過莫比烏斯帶的整個曲面而不必跨越它的邊緣，這是拓撲學中的一個著名問題。

數學中1+2+3+…是一種無窮（無窮大），它沒有上界，當然這種永遠不到頭顯然體現一種無窮。難怪有人認為，數學符號∞（無窮大）正是莫比烏斯帶在平面上的投影。

原標題：《數學也可以這么美，15張圖走進不一樣的數學》

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