【編者按】

來自不同文化的人們發明了不同的計數系統，印度的十進制經過歷史的沉淀，脫穎而出，成為當今普遍使用的計數系統。人們還開發出各種各樣的數學工具、建立各自模型描述自然世界中的規律，甚至用編織來解決計算機都無可奈何的雙曲面模型。在現實生活中，數學在很多領域也都起著意想不到的作用。我們通常認為體育比賽中的勝負靠的是賽場內的主客觀因素，但其實隨機性也發揮了不小的作用……《數學王國的冒險之旅》一書試圖展示數學詼諧迷人又出乎意料的一面。本文摘編自該書第9章《如何打敗概率》，澎湃新聞經中信出版集團授權發布。

曾經有一種說法是，去拉斯維加斯結婚，去里諾離婚。而現在，你可以前往這兩座城市玩一把角子機。里諾的佩珀米爾賭場有1900臺角子機，但它還不是城中最大的賭場。穿過賭場的大廳，輪盤賭桌和21點的賭桌在一排排閃爍、旋轉、嘟嘟作響的角子機的襯托下，顯得黯然失色?？萍嫉倪M步讓這些“獨臂土匪”失去了搖桿，也沒有了機械的內核。玩家現在可以通過按下發光的按鈕或點擊觸摸屏來下注。偶爾能聽到硬幣嘩啦啦的聲音，但這來自預錄的樣本，因為硬幣已經被電子信用卡取代。

賭場角子機

角子機是賭場產業的前沿，是博彩的前線，也是底線。這些機器在美國每年能掙250億美元（除去它們兌付的所有獎金后），大約是美國每年電影總票房的2.5倍。在全球賭場文化中心內華達州，角子機的收入如今占博彩收入的近70%，而且這個數字每年還在上升。

概率是對可能性的研究。當我們擲硬幣或玩角子機時，我們不知道硬幣會如何落下，也不知道旋轉的滾筒會停在哪里。概率為我們提供了一種語言，來描述硬幣正面朝上，或者我們中頭彩的可能性。通過數學方法，不可預測性變得非常可預測。概率似乎是我們日常生活中理所當然的一部分，比如在查看天氣預報時，我們默認預報結果會以一個概率出現。但在人類思想史上，意識到數學可以告訴我們未來的這個想法是近幾百年才出現的，且影響深遠。

我來里諾是為了見一位數學家，世界上超過一半的角子機的賠率是由他設定的。他的工作有悠久的歷史淵源，概率論最早是16世紀由賭徒吉羅拉莫·卡爾達諾提出的，我們在討論三次方程時曾提到過這位意大利朋友。這種會導致自我厭惡的嗜好給數學帶來了突破，這是很罕見的?！拔疫^分沉迷于棋盤和賭桌，我知道我必須受到最嚴厲的譴責?！彼麑懙馈Ｋ膲牧晳T讓他寫出了一部短小的專著，名叫《論賭博游戲》，這是第一部科學分析概率的作品。然而，這本書太超前了，直到他死后一個世紀才出版。

卡爾達諾的觀點是，如果一個隨機事件有幾個具有相同可能性的結果，那么任何一個結果發生的概率等于該結果數目與所有可能結果數目之比。也就是說，如果某件事占了6個可能結果中的一個，它發生的概率就是六分之一。所以，當你擲色子時，得到6的概率是1/6。擲出偶數的機會是3/6，也就是1/2。概率可以被定義為某種事情發生的可能性，用分數表示。不可能發生的概率為0，而確定會發生的概率為1，其余的均介于兩者之間。

這看起來很直觀，但事實并非如此。古希臘人、古羅馬人和古印度人都是狂熱的賭徒，然而，似乎沒有人試圖理解隨機性是如何被數學定律支配的。例如，在羅馬，擲硬幣是解決爭端的一種方式。

如果擲到了愷撒大帝的頭像這一面，那就意味著同意這個決定。隨機性并沒有被認為是隨意的，而是一種神圣意志的表達?？v觀歷史，人類在尋找解釋隨機事件的方法上具有非凡的想象力。例如，“書本占卜術”就是通過在文學作品中隨機選擇一段文字來給出指導。同樣，根據《圣經》，揀選短麥稈是一種公平的選擇方式，但得出的結果被解釋為上帝的意志：“簽放在懷里，定事由耶和華?！保ā扼鹧浴?6:33）

迷信給概率的科學研究帶來了極大的阻礙，但在擲了幾千年色子之后，神秘主義被一種更強烈的人類欲望所克服，那就是對經濟利益的渴望。吉羅拉莫·卡爾達諾是第一個把命運握在手里的人。事實上可以這么說：概率的發明是近幾個世紀迷信和宗教衰落的根源。

如果不可預測的事件遵從數學規律，就不需要神明來解釋它們了。世界的世俗化通常被認為是查爾斯·達爾文和弗里德里?！つ岵傻人枷爰业墓?，但很可能其實是吉羅拉莫·卡爾達諾開了先河。運氣游戲最常使用色子。古代經常使用距骨，也就是綿羊或山羊的腳踝骨，它有四個平坦的面。印度人喜歡棒狀和三角巧克力形狀的色子，他們用小點標記不同的面，很有可能色子早于所有正式的數字符號系統出現，并沿用了下來。最公平的色子每一面都相同，如果進一步要求每面都必須是一個正多邊形，則只有5種形狀符合，也就是5種柏拉圖多面體。所有柏拉圖多面體都被用作色子。烏爾（Ur）可能是世界上已知的最古老的游戲，這個至少可以追溯到前3世紀的游戲用到了正四面體，然而，這卻是5種選擇中最糟糕的一個，因為四面體只有4個面，且幾乎無法滾動。古埃及人使用正八面體（有8個面），而正十二面體（12個面）和正二十面體（20個面）如今則存在于占卜師的手提包里。

烏爾皇室游戲棋盤

目前最流行的色子形狀是立方體。它最容易制造，數字的跨度既不大也不小，滾動起來很流暢，但又沒那么容易滾動，會明確地落在某個數字上。帶有點的立方體色子在不同文化中都是運氣和機遇的象征，無論是在中國的麻將室里，還是在英國汽車的后視鏡上，都能看到一樣的色子。之前說過，擲一個色子，擲出6的概率是1/6。再擲一個色子，出現6的概率還是1/6。那么擲一對色子，得到一對6的概率是多少？概率論最基本的規則是，兩個獨立事件發生的概率等于第一個事件發生的概率乘以第二個事件發生的概率。當你擲一對色子時，第一個色子得到的結果與第二個色子的結果無關，反之亦然。所以，擲出兩個6的概率是1/6×1/6，等于1/36。你可以通過計算兩個色子的所有可能組合，直觀地看到這一點：一共有36個具有相同可能性的結果，其中只有一個結果是一對6。相反，在36個可能的結果中，有35個不是一對6。所以，沒有擲出一對6的概率是35/36。你也可以不列舉出35個例子，而是從完整的集合中減去擲出一對6的情況。在這個例子中就是，1 – 1/36 =35/36。因此，某件事沒有發生的概率是1 減去這件事情發生的概率。

色子賭桌相當于早期的角子機，賭徒們把賭注押在擲色子的結果上。一種經典的賭博游戲是擲出4個色子，押注至少有一個6出現的可能性。對于任何愿意在這件事上押錢的人來說，這可以讓你獲得一些額外的收入，而且我們也有足夠的數學知識來理解為什么會這樣：

第一步：用4個色子擲出至少一個6的概率等于1減去4個色子中沒有一個色子出現6的概率。

第二步：一個色子沒有擲出6的概率是5/6，因此如果有4個色子，都沒有擲出6的概率就是5/6×5/6×5/6×5/6 = 625/1296，也就是0.482。

第三步：所以，擲出至少一個6的概率是1 – 0.482 = 0.518。

概率為0.518意味著，如果你連續1000次每次擲4個色子，得到至少一個6的情況大約會發生518次，而沒有6的情況大約有482次。

如果你押注至少會出現一個6，平均而言你贏的次數會比輸的次數要多，所以你最終能從中獲利。

17世紀作家舍瓦利耶·德梅雷（Chevalier de Méré）坐在賭桌前的頻率，和他身處巴黎最時髦的沙龍里的頻率一樣。德梅雷對擲色子的數學原理和贏錢都很感興趣。雖然他提出了一些關于賭博的問題，但是他憑自己的能力無法回答。因此，1654年，他找到了著名數學家布萊茲·帕斯卡。帕斯卡對概率的調查成為一個引發了對隨機性的研究的隨機事件。

布萊茲·帕斯卡在遇到德梅雷的問題時才31歲，但他在學術界的名聲已經流傳了近20年。帕斯卡幼年時就表現出了驚人的天賦，13歲時，他的父親讓他參加了素數愛好者馬蘭·梅森修士組織的科學沙龍，梅森的沙龍聚集了許多著名數學家，包括勒內·笛卡兒和皮埃爾·德·費馬。帕斯卡在十幾歲時就證明了幾何學中的重要定理，并發明了一種早期的機械計算器，也叫“加法器”（Pascaline）。

德梅雷問帕斯卡的第一個問題與“兩個6”有關。我們在前面看到，當你擲兩個色子的時候，有1/36的機會能得到兩個6。擲色子的次數越多，獲得兩個6的機會就越大。德梅雷想知道他需要把一對色子擲多少次，才更有可能出現兩個6。

德梅雷的第二個問題更復雜。假設讓和雅克正在玩一個色子游戲，游戲包括幾個回合，每個回合兩人都擲出色子，看誰得到的數字最大，率先贏得三個回合的人獲勝。在三個回合之后，游戲因意外需要終止。最直接的贏家是擲出了三次最大的數字的人。每個人的賭注是32法郎，所以賭注總額是64法郎。但如果讓擲了兩次最大的數，而雅克擲了一次，應該如何分配賭注？

帕斯卡思索著答案，他覺得有必要找一位天才的同行來討論這些問題，于是他寫信給梅森沙龍的老朋友皮埃爾·德·費馬。費馬住在遠離巴黎的圖盧茲，這座城市的名字似乎很適合一位分析賭博問題的研究者居住。費馬比帕斯卡年長22歲，他在當地刑事法院當法官，把數學作為一種智力娛樂。然而，他的業余思考使他成為17世紀上半葉最受尊敬的數學家之一。

帕斯卡和費馬關于概率（他們稱之為“偶然性”）的短暫通信成為科學史上的一座里程碑。他們解決了那些享樂主義者的問題，也為現代概率論奠定了基礎。

《數學王國的冒險之旅》，[英]亞歷克斯·貝洛斯著，劉曉鷗、呂同舟譯，鸚鵡螺·中信出版集團2022年6月。