1632年8月10日，五個(gè)神秘的黑衣男子在一座昏暗的羅馬教堂里集會(huì)，他們嚴(yán)肅地討論著一個(gè)看似簡(jiǎn)單的命題——無(wú)窮小（Infinitesimals，亦稱不可分量）是否存在。討論的結(jié)果是，嚴(yán)令禁止無(wú)窮小的傳播，永遠(yuǎn)不得傳授乃至提及無(wú)窮小的概念。

但這究竟是為什么呢？難道教會(huì)就沒(méi)有別的什么更重要的事情可做了嗎？他們又是出于怎樣的考慮，才會(huì)去禁止這樣一個(gè)看似毫不相干的數(shù)學(xué)概念呢？

是的，站在我們現(xiàn)代人的角度來(lái)看，無(wú)窮小這個(gè)概念，只不過(guò)是數(shù)學(xué)大家族中普普通通的一員，沒(méi)什么了不起的。但在伽利略所處的17世紀(jì)，這一切可不是人們想象的那么簡(jiǎn)單——圍繞著無(wú)窮小概念的那場(chǎng)世紀(jì)大爭(zhēng)論（由此引出了重要的極限概念），甚至可以說(shuō)是一場(chǎng)關(guān)乎現(xiàn)代世界面貌的史詩(shī)級(jí)戰(zhàn)爭(zhēng)。

古希臘與無(wú)窮小悖論

事實(shí)上，早在古希臘時(shí)期，無(wú)窮小量的概念就如一個(gè)鬼影般反復(fù)出現(xiàn)在哲人們的腦海中，久久揮之不去。哲學(xué)家芝諾為此專門編寫了四個(gè)悖論，并給它們分別起了一個(gè)有趣的名字。比如，“阿喀琉斯追烏龜”證明，敏捷的阿喀琉斯永遠(yuǎn)追不上緩慢的烏龜，雖然他的速度要比烏龜快得多，但他必須首先達(dá)到兩者距離的1/2位置，接下來(lái)是1/4位置，然后是1/8位置，以此類推，他將永遠(yuǎn)追不上烏龜。然而，我們憑經(jīng)驗(yàn)卻認(rèn)為，阿喀琉斯肯定會(huì)追上比他慢的對(duì)手，從而導(dǎo)致悖論。驚人巧合的是，幾乎在同一時(shí)期，中國(guó)先秦哲學(xué)家莊子在其《天下篇》中表達(dá)了如出一轍的思想：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭。”

“阿喀琉斯追烏龜”

同時(shí)，畢達(dá)哥拉斯的得意門生希帕索斯驚恐地發(fā)現(xiàn)了另一個(gè)神秘的“怪物”——無(wú)理數(shù)（Irrational number）。例如，正方形的邊與其對(duì)角線，用現(xiàn)代術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，我們稱這兩條線之間的比例是“根號(hào)2”，它是一個(gè)無(wú)理數(shù)，亦即兩條線之間沒(méi)有公約數(shù)。這意味著，無(wú)論你將這兩條線分成多少份，或者分割地多么小，都永遠(yuǎn)得不到它們之間的一個(gè)公約數(shù)。這就導(dǎo)致了一個(gè)問(wèn)題，如果兩條線是不可通約的，那么它們就沒(méi)有共同的組成部分，因此就不存在數(shù)學(xué)原子，也就是不可分量。這些由芝諾和畢達(dá)哥拉斯的追隨者們?cè)诠?世紀(jì)和公元前5世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的古老難題，徹底改變了古代數(shù)學(xué)的進(jìn)程。

如果正視這些難題和悖論，人們將不得不承認(rèn)數(shù)學(xué)與物理世界之間達(dá)到一種完美契合的夢(mèng)想是站不住腳的。無(wú)窮小在規(guī)模上，其數(shù)量與物理世界是不對(duì)應(yīng)的，任何為實(shí)現(xiàn)兩者的契合所作的努力最終都導(dǎo)致了矛盾和悖論。盡管數(shù)學(xué)推理的自身?xiàng)l件是嚴(yán)格而正確的，但它還是不能告訴我們這個(gè)世界的真實(shí)面目。在萬(wàn)物的核心似乎存在著一種神秘的東西，它能夠逃脫最嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理，使得那些信仰理性有序和永恒不變的世界的人們驚恐不安，更令人不安的是它在社會(huì)和政治上的影響，對(duì)于那些寄希望于現(xiàn)有等級(jí)制度和社會(huì)穩(wěn)定的團(tuán)隊(duì)來(lái)說(shuō)，無(wú)窮小量似乎打開了一扇通往“叛亂”、“沖突”和“革命”大門。后來(lái)的兩次影響深遠(yuǎn)的“無(wú)窮小戰(zhàn)爭(zhēng)”便是這一悖論的遙遠(yuǎn)回聲。

從那時(shí)起，古典數(shù)學(xué)家們開始將視線從難以解決的無(wú)窮小問(wèn)題上轉(zhuǎn)移開來(lái)，繼而關(guān)注幾何學(xué)清晰的系統(tǒng)化演繹推理。柏拉圖開創(chuàng)了這一領(lǐng)域，他把幾何學(xué)作為自己哲學(xué)體系中的正確理性推理的模型，并且傳說(shuō)他還在自己學(xué)院的入口處刻上了“不懂幾何者不得入內(nèi)”的標(biāo)語(yǔ)。盡管亞里士多德在許多問(wèn)題上都與他的老師柏拉圖見解不同，但他也贊同應(yīng)該回避無(wú)窮小。在他的《物理學(xué)》第六冊(cè)中，他權(quán)威性地詳細(xì)討論了連續(xù)體悖論，并得出結(jié)論：無(wú)窮小概念是錯(cuò)誤的，連續(xù)量可以被無(wú)限分割。

《物理學(xué)》

幸運(yùn)的是，古代最偉大的數(shù)學(xué)家阿基米德充分認(rèn)識(shí)到無(wú)窮小量這一概念作為一種數(shù)學(xué)工具的強(qiáng)大之處（盡管他也選擇忽視了無(wú)窮小悖論），為了計(jì)算圓柱體或球體的體積，他把它們分割成無(wú)窮多個(gè)平行面，然后通過(guò)對(duì)其表面積求和得出正確的答案。即使存在爭(zhēng)議，他仍然假設(shè)連續(xù)量是由不可分量構(gòu)成，由此他最終得出了通過(guò)其他方式幾乎不可能得到的結(jié)果。遺憾的是，后世的數(shù)學(xué)家們均繞開了他的這種新穎的數(shù)學(xué)方法，轉(zhuǎn)而使用那些經(jīng)過(guò)驗(yàn)證的幾何方法以及不可辯駁的幾何真理。直到16世紀(jì)，弗蘭德、英國(guó)和意大利的一些數(shù)學(xué)家開始重拾阿基米德關(guān)于無(wú)窮小量的實(shí)驗(yàn)，重新審視其可能性。同阿基米德一樣，他們計(jì)算了幾何圖形所圍成的面積和體積，并通過(guò)進(jìn)一步計(jì)算運(yùn)動(dòng)物體的速度和曲線的斜率，而超越了這位古代大師。然而，這時(shí)距離阿基米德的時(shí)代已經(jīng)過(guò)去了1800年。

于是，圍繞著無(wú)窮小的兩次世紀(jì)戰(zhàn)爭(zhēng)即將開啟，交戰(zhàn)的雙方分別是對(duì)現(xiàn)有政治權(quán)威與宗教制度的捍衛(wèi)者，以及對(duì)學(xué)術(shù)自由和政治改革的倡導(dǎo)者。而這場(chǎng)思想之戰(zhàn)逐漸綿延到整個(gè)歐洲大陸，其中，最主要的兩個(gè)戰(zhàn)場(chǎng)分別是意大利和英國(guó)。在此，我們可以清晰地看到，一個(gè)看似簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)概念——無(wú)窮小——如何不可思議地引發(fā)和導(dǎo)致兩個(gè)國(guó)家文明的盛衰轉(zhuǎn)折，從而深刻影響了歐洲乃至世界近代歷史的進(jìn)程，并在很大程度上形塑了我們今天所生活的這個(gè)現(xiàn)代世界——它在方方面面都受到無(wú)窮小的影響和制約。

第一次“無(wú)窮小戰(zhàn)爭(zhēng)”與意大利的衰落

作為文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)的起源地，意大利自中世紀(jì)中期以來(lái)一直領(lǐng)導(dǎo)著整個(gè)歐洲在各個(gè)領(lǐng)域的發(fā)明創(chuàng)造，包括政治、經(jīng)濟(jì)、藝術(shù)與科學(xué)。早在11-12世紀(jì)，意大利就誕生了第一批從黑暗時(shí)代興起的城市，它們不僅在停滯已久的商業(yè)經(jīng)濟(jì)中發(fā)揮了至關(guān)重要的作用，還是不同政府形式的——從專制到共和——政治試驗(yàn)的實(shí)際發(fā)生地。13世紀(jì)，意大利商人成了歐洲首批最富有的銀行家。從14世紀(jì)中葉開始，意大利領(lǐng)導(dǎo)了藝術(shù)和文化領(lǐng)域的復(fù)興運(yùn)動(dòng)，其影響遍及整個(gè)歐洲。從彼得拉克到皮科·德拉·米蘭多拉這樣的人文主義者，從喬托到波提切利這樣的畫家，從多納泰羅到米開朗基羅這樣的雕塑家，從布魯內(nèi)萊斯基到貝尼尼這樣的建筑師……這些杰出人才使意大利的文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)成為人類歷史的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。在科學(xué)領(lǐng)域，從萊昂·巴蒂斯塔·阿爾博蒂到萊昂納多·皮薩諾·俾格萊 ，再到伽利略，意大利人對(duì)人類知識(shí)做出了重大貢獻(xiàn)，并開辟了數(shù)學(xué)研究的新篇章。

因此，所有人都期待著意大利——這個(gè)在創(chuàng)造力和創(chuàng)新性方面無(wú)與倫比的國(guó)家——將再次引領(lǐng)數(shù)學(xué)乃至科學(xué)發(fā)展的新方向。然而，令人意外的是，整個(gè)事件走向了完全相反的方向。17世紀(jì)初，無(wú)窮小量的支持者主要是“近代科學(xué)之父”伽利略和他的兩位弟子：卡瓦列里和托里切利。在接到卡瓦列里寄來(lái)的那封信之前，伽利略早已功成名就。當(dāng)時(shí)的伽利略，正處在他一生中權(quán)力與聲譽(yù)的巔峰。但是，卡瓦列里寄來(lái)的那封信，改變了這一切。

在信里，卡瓦列里提出了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：假如我們給定一個(gè)具體的平面圖形，并在其中畫出一條直線，然后我們繼續(xù)在這個(gè)平面圖形當(dāng)中，將所有能與第一條直線平行的直線全部畫出來(lái)，那么，我們是否能將這些直線與這個(gè)平面圖形等同起來(lái)呢？這個(gè)問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，但它卻直指無(wú)窮小問(wèn)題的核心矛盾——我們可以在任何一個(gè)平面圖形上畫出無(wú)窮條直線，假如我們給每一條直線設(shè)定一個(gè)寬度，不管這個(gè)數(shù)值有多小，這無(wú)窮多條直線將會(huì)累積成一個(gè)無(wú)窮大的平面，而不是我們初始設(shè)定的那個(gè)具體的平面圖形，但假如每條直線的寬度都是零，無(wú)窮多條直線的寬度也依然是零，也無(wú)法得到我們給定的平面圖形。

《伽利略傳》

是的，正是這樣一個(gè)問(wèn)題，兩千年來(lái)一直困擾著自畢達(dá)哥拉斯以來(lái)的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家們。伽利略被這封信激起了興趣，他很快給這個(gè)叫卡瓦列里的年輕人寫了一封熱情洋溢的回信，鼓勵(lì)他繼續(xù)將這個(gè)問(wèn)題研究下去，同時(shí)，伽利略自己也開始進(jìn)入這個(gè)神秘的領(lǐng)域。然而，耶穌會(huì)對(duì)他們的研究進(jìn)行了無(wú)情的排擠和打壓，這個(gè)旨在“培養(yǎng)學(xué)生對(duì)天主教絕對(duì)的盲目服從”的反宗教改革團(tuán)體無(wú)法容忍無(wú)窮小量所帶來(lái)的無(wú)序、矛盾和非理性。對(duì)耶穌會(huì)來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)代表著一種嚴(yán)格的理性秩序，并幫助它規(guī)范外部無(wú)序的世界，就像它內(nèi)部等級(jí)森嚴(yán)的管理模式一樣。最終，卡瓦列里停下了腳步，并試圖退回到安全的距離，但這一切都無(wú)濟(jì)于事，在那些反對(duì)他的人看來(lái)，卡瓦列里過(guò)去的所有研究方法，已經(jīng)徹底違反了教會(huì)所允許的經(jīng)典方法，他已經(jīng)走得太遠(yuǎn)了。

隨后，與卡瓦列里同時(shí)代的另一位年輕人——托里切利接過(guò)了伽利略的火炬，將無(wú)窮小的研究推到了卡瓦列里未曾企及的高度。他在一篇發(fā)表于1644年的名為“關(guān)于拋物線的面積”的論文中，創(chuàng)造了一種全新的，被他自己命名為“不可分量法”的數(shù)學(xué)方法——這的確是一項(xiàng)了不起的發(fā)現(xiàn)，它為后來(lái)的數(shù)學(xué)家們開辟出一條全新的道路。遺憾的是，被耶穌會(huì)強(qiáng)制軟禁長(zhǎng)達(dá)十多年的伽利略，早已在兩年前就含恨離世了。而托里切利自己也因?yàn)榉e勞成疾，在1647年去世。這位天才的數(shù)學(xué)家，死去的時(shí)候年僅39歲，令人扼腕。一個(gè)月后，他的師兄卡瓦列里也因病離世。

就這樣，耶穌會(huì)戰(zhàn)勝了無(wú)窮小的倡導(dǎo)者們，并占據(jù)了絕對(duì)的統(tǒng)治地位，最后一位公開捍衛(wèi)無(wú)窮小量學(xué)說(shuō)的意大利數(shù)學(xué)家安杰利，在圣杰羅姆會(huì)于1668年被教皇突然解散后不再發(fā)聲。那個(gè)屬于伽利略、卡瓦列里和托里切利的意大利天才輩出的數(shù)學(xué)黃金年代，在短短數(shù)年間煙消云散了。至此，領(lǐng)導(dǎo)數(shù)學(xué)創(chuàng)新的重心悄然發(fā)生了偏移，它正在跨越阿爾卑斯山，向德國(guó)、法國(guó)、英國(guó)與瑞士發(fā)展。正是在這些北方國(guó)家，卡瓦列里和托里切利的“不可分量法”將首先發(fā)展成“無(wú)窮小微積分”（infinitesimals calculus），然后又發(fā)展成了更廣泛的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域——分析學(xué)。意大利作為該學(xué)說(shuō)的起源地，現(xiàn)在已經(jīng)成了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一潭死水。18世紀(jì)60年代，當(dāng)都靈年輕的數(shù)學(xué)天才拉格朗日力爭(zhēng)成為“偉大的幾何學(xué)家”時(shí)，他不得不離開故土，首先去了柏林，然后又到了巴黎。對(duì)于后世的人們來(lái)說(shuō)，他一直是個(gè)法國(guó)人，約瑟夫·路易·拉格朗日——人類歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。

雖然第一次“無(wú)窮小戰(zhàn)爭(zhēng)”已經(jīng)結(jié)束了，但如果是伽利略學(xué)派戰(zhàn)勝耶穌會(huì)的話，我們可以想象意大利將會(huì)朝著另一個(gè)方向發(fā)展。伽利略的學(xué)術(shù)思想很可能仍處于當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)與科學(xué)的最前沿，并很有可能在18-19世紀(jì)引領(lǐng)數(shù)學(xué)與科學(xué)取得輝煌勝利。作為文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)的起源地，意大利將再次成為哲學(xué)、科學(xué)與文化的啟蒙中心，那些自由與民主的思想會(huì)來(lái)自于佛羅倫薩、米蘭和羅馬的廣場(chǎng)，而非來(lái)自于巴黎和倫敦。不難想象，意大利的許多小公國(guó)會(huì)為更具代表性的政府讓位，它的偉大城市會(huì)成為蓬勃發(fā)展的工業(yè)與商業(yè)中心，它們完全有實(shí)力與北部的對(duì)手展開競(jìng)爭(zhēng)。但可悲的事實(shí)卻是：到17世紀(jì)末，無(wú)窮小學(xué)說(shuō)已經(jīng)被耶穌會(huì)完全鎮(zhèn)壓下去。在意大利，一場(chǎng)持續(xù)數(shù)百年的衰退和蕭條即將上演。

第二次“無(wú)窮小戰(zhàn)爭(zhēng)”與英國(guó)的崛起

伽利略死后18年，英國(guó)皇家學(xué)會(huì)于1660年成立。在之后的數(shù)百年間，它一直是世界上最權(quán)威的科學(xué)研究機(jī)構(gòu)，歷史上許多最偉大的科學(xué)家，例如牛頓、拉瓦錫、富蘭克林、巴貝奇、開爾文、達(dá)爾文、盧瑟福、愛(ài)因斯坦，以及霍金，這一長(zhǎng)串震古爍今的大人物，都曾是皇家學(xué)會(huì)的會(huì)員。而這里，也將成為第二次“無(wú)窮小戰(zhàn)爭(zhēng)”的決勝之地。決戰(zhàn)的雙方已經(jīng)登上了舞臺(tái)，一方是白發(fā)蒼蒼的老者托馬斯·霍布斯，曾寫出《利維坦》這部政治學(xué)杰作的頂尖作家，同時(shí)也是有史以來(lái)最偉大的政治哲學(xué)家之一；另一方則是牛津大學(xué)的頂尖數(shù)學(xué)家約翰·沃利斯。針對(duì)霍布斯的數(shù)學(xué)方法和專制政治觀，兩人展開了一場(chǎng)長(zhǎng)達(dá)數(shù)十年的斗爭(zhēng)。

霍布斯與數(shù)學(xué)的邂逅可以算得上是一段奇遇。直到四十歲時(shí)，他才與數(shù)學(xué)結(jié)緣。據(jù)說(shuō)，是因?yàn)樗既辉趧e人的書桌上看到了一本《幾何原本》，因?yàn)闊o(wú)聊便拿起來(lái)隨手翻閱。這隨意的一瞥，便為他打開了一扇新的大門。從此，霍布斯開始鉆研幾何學(xué)，認(rèn)為“幾何學(xué)是迄今為止上帝賜予人類的唯一科學(xué)”，并以幾何學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)和系統(tǒng)來(lái)構(gòu)建自己的政治哲學(xué)，這正是他在《利維坦》中所使用的推理方法：人的本性會(huì)導(dǎo)致自然狀態(tài)，從而導(dǎo)致內(nèi)戰(zhàn)，從而導(dǎo)致個(gè)人意志的屈從，從而導(dǎo)致利維坦。因此，利維坦是唯一可行的政治秩序。而無(wú)窮小就像一個(gè)擅自闖入數(shù)學(xué)領(lǐng)域的不速之客，它破壞了明白無(wú)誤的數(shù)學(xué)合理性，進(jìn)而又會(huì)破壞社會(huì)、宗教和政治的秩序。

《利維坦》

但是，霍布斯宿命中的對(duì)手約翰·沃利斯也登上了歷史舞臺(tái)，他是一位年輕的牧師，也是牛頓的劍橋?qū)W長(zhǎng)。沃利斯早在求學(xué)于劍橋大學(xué)的時(shí)候，就對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了極強(qiáng)的興趣。在沃利斯看來(lái)，知識(shí)的最高形式是基于感性的，是能夠“看出”甚至是“品嘗出”的真理——這正是沃利斯與霍布斯的根本分歧所在——霍布斯極為鄙視這種感性的知識(shí)。沃利斯可以說(shuō)是意大利數(shù)學(xué)思想的傳承者，他繼承了卡瓦列里和托里切利發(fā)現(xiàn)的“不可分量”思想，并于1656年在此基礎(chǔ)上寫成了《無(wú)窮算術(shù)》。在這部著作中，沃利斯向霍布斯發(fā)起了終極挑戰(zhàn)。他在書中天才般地引入了一個(gè)表示無(wú)窮大的符號(hào)∞，并用級(jí)數(shù)求圓面積的“化圓為方”法，體現(xiàn)了利用無(wú)窮小進(jìn)行級(jí)數(shù)求和的思想。

兩人爭(zhēng)論的關(guān)鍵問(wèn)題正是：霍布斯拒絕接受無(wú)窮小概念以及使用無(wú)窮小的數(shù)學(xué)方法。他堅(jiān)持認(rèn)為，數(shù)學(xué)必須從第一原理開始，一步一步地進(jìn)行演繹推理，最終得出更為復(fù)雜但同樣具有確定性的真理。在這個(gè)證明過(guò)程中，所有的幾何對(duì)象都必須從簡(jiǎn)單圖形開始進(jìn)行構(gòu)造，僅能利用簡(jiǎn)單而且不證自明的對(duì)點(diǎn)、線、面等的定義。霍布斯相信，通過(guò)這種方式，可以構(gòu)造出一個(gè)完全理性、絕對(duì)透明并且充分可知的世界。在這樣的世界中，將不會(huì)再有任何秘密可言，它的規(guī)則將像幾何法則一樣簡(jiǎn)單而絕對(duì)，正如政治秩序中的利維坦。

相反，沃利斯的數(shù)學(xué)并沒(méi)有試圖構(gòu)建一個(gè)數(shù)學(xué)世界，而是去研究這個(gè)客觀存在的世界。沃利斯的世界是神秘的、有待發(fā)現(xiàn)的，無(wú)窮小的模糊性也是一個(gè)積極的特征，不能因?yàn)檫@種模糊性而抹殺它的存在。前進(jìn)的道路本就是要小心地、實(shí)驗(yàn)性地使用任何可能有效的方法，來(lái)揭開世界的奧秘。任何試圖構(gòu)造一個(gè)完全理性的世界的企圖，只會(huì)是一條死路。同時(shí)，霍布斯視為混亂與沖突根源的異議（以及產(chǎn)生異議的線索）在沃利斯看來(lái)并不可怕，而恰恰為數(shù)學(xué)提供了另一種可能的選擇。沃利斯和皇家學(xué)會(huì)的其他成員認(rèn)為，正是教條主義和不寬容導(dǎo)致了17世紀(jì)40-50年代的災(zāi)難。

約翰·沃利斯

兩人之間這場(chǎng)曠日持久的斗爭(zhēng)持續(xù)了將近20年。霍布斯更加文采出眾和才思敏捷，但沃利斯擁有更高的譴責(zé)熱情和聲勢(shì)。沃利斯很好地利用了自己在牛津大學(xué)和皇家學(xué)會(huì)的職位優(yōu)勢(shì)，逐步孤立了霍布斯，并在英國(guó)學(xué)術(shù)界詆毀他的聲譽(yù)。隨著時(shí)間的推移，霍布斯不再被視為一個(gè)驚人敬畏的科學(xué)家和數(shù)學(xué)家，而只是一位政治哲學(xué)家。最終，沃利斯贏了！他的《無(wú)窮算術(shù)》得到了英國(guó)數(shù)學(xué)界的一致認(rèn)可，更重要的是，一位劍橋大學(xué)的年輕學(xué)生從這本著作中得到了許多有益的啟發(fā)——這位學(xué)生名叫伊薩克·牛頓。

1665年，23歲的牛頓受到沃利斯《無(wú)窮算術(shù)》的啟發(fā)，發(fā)明了自己版本的無(wú)窮小數(shù)學(xué)。在接下來(lái)的幾十年里，牛頓的微積分，以及其競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手萊布尼茲的微積分，均得到了廣泛流傳。此后，微積分轉(zhuǎn)化為了大量的數(shù)學(xué)實(shí)踐和眾多的數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域。數(shù)學(xué)分析——這個(gè)以微積分為起點(diǎn)的新興數(shù)學(xué)領(lǐng)域，成為18世紀(jì)數(shù)學(xué)的主要分支，并且成為該學(xué)科的主要支柱之一。它使數(shù)學(xué)研究能夠應(yīng)用到幾乎所有領(lǐng)域，從行星運(yùn)動(dòng)到琴弦振動(dòng)，從蒸汽機(jī)到電動(dòng)力學(xué)——幾乎囊括了從古至今的物理學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。這是一場(chǎng)偉大的數(shù)學(xué)革命，這場(chǎng)革命將改變未來(lái)的整個(gè)世界和人類歷史。

就這樣，歷史像開了一個(gè)大大的玩笑：在意大利，耶穌會(huì)戰(zhàn)勝了伽利略學(xué)派；而在英國(guó)，則是沃利斯戰(zhàn)勝了霍布斯。如果請(qǐng)一位17世紀(jì)30年代的觀察家來(lái)預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)在兩個(gè)國(guó)家的命運(yùn)的話，他幾乎會(huì)得出完全相反的預(yù)測(cè)結(jié)論。意大利一直保持著杰出的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，而英國(guó)在之前從來(lái)沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)任何一位著名的幾何學(xué)家。但是，真實(shí)的歷史發(fā)展卻出乎所有人的意料。針對(duì)無(wú)窮小的兩次戰(zhàn)爭(zhēng)之后，高等數(shù)學(xué)在意大利停止了發(fā)展步伐，而英國(guó)的數(shù)學(xué)迅速崛起，成為歐洲主要的具有數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的國(guó)家，或許只有法國(guó)可以與之一爭(zhēng)高下，這為后來(lái)日不落帝國(guó)的崛起和興盛奠定了重要基礎(chǔ)。

無(wú)窮小與現(xiàn)代世界

眾所周知，牛頓利用微積分創(chuàng)建了一門新的物理學(xué)，并與萬(wàn)有引力一起在數(shù)學(xué)上描述了整個(gè)“世界體系”。牛頓劃時(shí)代的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》遲至1687年才首次出版，此時(shí)霍布斯已經(jīng)去世8年。如果傲慢的霍布斯有生之年能夠看到這一切，真不知該作何感想。牛頓的豐碩成果在18世紀(jì)得到了延續(xù)，一些杰出的數(shù)學(xué)家如丹尼爾·伯努利、萊昂哈德·歐拉以及讓·達(dá)朗貝爾，他們?yōu)榱鲃?dòng)的運(yùn)動(dòng)、弦的振動(dòng)以及氣流等提供了一般性的數(shù)學(xué)描述。他們的繼承者拉格朗日和拉普拉斯已經(jīng)能用一組精確的“微分方程”（differential equations）來(lái)描述宇宙萬(wàn)物的運(yùn)行機(jī)制了。從當(dāng)時(shí)直到現(xiàn)在，數(shù)學(xué)分析（更廣泛的微積分形式）一直是物理學(xué)家用來(lái)解釋自然現(xiàn)象的基本工具。

《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》

更重要的是，微積分對(duì)工程技術(shù)產(chǎn)生了革命性的深遠(yuǎn)影響。19世紀(jì)，由約瑟夫·傅里葉發(fā)明的熱傳導(dǎo)數(shù)學(xué)理論，以及由威廉·湯姆森發(fā)明的熱力學(xué)，使設(shè)計(jì)和生產(chǎn)更加高效的蒸汽機(jī)成為可能。19世紀(jì)60年代，詹姆斯·克拉克·麥克斯韋發(fā)明了著名的“麥克斯韋方程”，即一組描述電場(chǎng)、磁場(chǎng)與電荷密度、電流密度之間關(guān)系的堪稱完美的偏微分方程。后來(lái)，電動(dòng)機(jī)、發(fā)電機(jī)以及無(wú)線通信的發(fā)明都得益于他的研究成果。此外，微積分在很多領(lǐng)域都起到了基礎(chǔ)性作用，包括空氣動(dòng)力學(xué)（使空中旅行成為可能）、流體力學(xué)（航運(yùn)、水的收集與分配）、電子學(xué)、土木工程、建筑學(xué)、商業(yè)模式等等。顯而易見的是，如果沒(méi)有無(wú)窮小概念，便沒(méi)有微積分及其思想，那么我們身處的這個(gè)現(xiàn)代世界將變得難以想象的貧乏與落后。

當(dāng)然，關(guān)于無(wú)窮小的戰(zhàn)爭(zhēng)也改變了人類近現(xiàn)代歷史的進(jìn)程。在意大利逐漸落后的年代里，英國(guó)成長(zhǎng)為最有活力、最富遠(yuǎn)見以及發(fā)展最快的歐洲國(guó)家。長(zhǎng)期以來(lái)被視為野蠻與半野蠻的英國(guó)，一直處于歐洲文明的北部邊緣。但自18世紀(jì)以來(lái)，它不僅成為歐洲文化和科學(xué)的前沿陣地，而且是政治多元化和經(jīng)濟(jì)成功的典范。在此，呈現(xiàn)的是現(xiàn)代性的另一番景象，它在各個(gè)方面都與意大利相反：在這里沒(méi)有教條的一致性，對(duì)于異議和多元化展現(xiàn)出了空前的開放性。在政治、宗教和經(jīng)濟(jì)上，英國(guó)都成了一個(gè)可以包容多種聲音的國(guó)家。在這里，可以公開爭(zhēng)論相互對(duì)立的觀點(diǎn)和利益，基本沒(méi)有壓迫政策，這種自由和民主使得英國(guó)走上了獲取財(cái)富和權(quán)力的道路。或許，當(dāng)我們回眸20世紀(jì)的慘烈歷史時(shí)，會(huì)更加懂得為何意大利產(chǎn)生了墨索里尼這樣的法西斯獨(dú)裁者，而英國(guó)成了世界反法西斯戰(zhàn)爭(zhēng)的重要力量。

放眼當(dāng)時(shí)的英國(guó)，政治和宗教的多元化與科學(xué)、學(xué)術(shù)和經(jīng)濟(jì)的開放性可謂齊頭并進(jìn)，相得益彰。在光榮革命之后，隨之而來(lái)的是1689年的《寬容法案》，它保證那些不信仰國(guó)教的新教教徒免受迫害。倫敦皇家學(xué)會(huì)與法國(guó)科學(xué)院很快成為歐洲乃至全世界領(lǐng)先的科學(xué)研究機(jī)構(gòu)，英國(guó)的科學(xué)為整個(gè)歐洲樹立了標(biāo)準(zhǔn)。在學(xué)術(shù)界，英國(guó)成為了哲學(xué)與政治的公共辯論場(chǎng)所，其中一些杰出人物如約翰·洛克、喬納森·斯威夫特以及艾德蒙·伯克采取了反對(duì)立場(chǎng)，但仍有杰出的論斷。政治自由化也促進(jìn)了經(jīng)濟(jì)自由化和空前的私有企業(yè)規(guī)模。累積的資本和不斷擴(kuò)大的車間規(guī)模使投資于新技術(shù)變得有利可圖，特別是蒸汽機(jī)。其結(jié)果便是，到18世紀(jì)后期，英國(guó)稱為全世界第一個(gè)工業(yè)化國(guó)家，遙遙領(lǐng)先于其在歐洲大陸的所有對(duì)手。

連續(xù)體是否由無(wú)窮小量構(gòu)成，這似乎從來(lái)都是一個(gè)難解的問(wèn)題，我們很難準(zhǔn)確衡量它所釋放的全部能量。但當(dāng)這兩場(chǎng)影響深遠(yuǎn)的戰(zhàn)爭(zhēng)在17世紀(jì)被引燃的時(shí)候，處于交戰(zhàn)的雙方都認(rèn)為，對(duì)于即將到來(lái)的現(xiàn)代世界，這個(gè)問(wèn)題的答案將會(huì)影響到人類生活的方方面面。他們是正確的：當(dāng)一切塵埃落定的時(shí)候，無(wú)窮小量的捍衛(wèi)者贏得了最終勝利，他們的敵人被擊敗了。于是，一個(gè)煥然一新的現(xiàn)代世界呈現(xiàn)在所有人的面前。

最后，向阿基米德致敬，向伽利略致敬，向沃利斯致敬，向所有無(wú)窮小量學(xué)說(shuō)的捍衛(wèi)者們致敬！沒(méi)有他們，就沒(méi)有我們現(xiàn)在身處的這個(gè)美麗新世界。