我依然不明白他是如何想出它的。

——理查德·費曼

一對數(shù)學精靈

一八二六年秋天，二十四歲的挪威青年尼爾斯·亨利克·阿貝爾（Niels Henrik Abel）來到巴黎，此時的他已經取得非凡的數(shù)學成就，包括證明五次和五次以上方程沒有一般根式解，正在等待法蘭西科學院大咖們的賞識和肯定。在離阿貝爾住處幾公里遠的路易學校，十五歲的法國少年埃瓦里斯特·伽羅瓦（évariste Galois）卻遇到麻煩，在進入該校的第四個年頭，他的修辭課大大退步（可能沒過及格線），他留級了。

在此期間，伽羅瓦的一位同學為他畫了一幅素描，那是我們今天見到的伽羅瓦像。在任何一部數(shù)學史中，我們都會看見，十五歲的迷惘少年與那些睿智老成的數(shù)學家（如笛卡爾、牛頓、萊布尼茨、歐拉等）并列在一起。有趣的是，也是在巴黎，阿貝爾遇見一位同胞畫家，他為阿貝爾畫了唯一的肖像畫。阿貝爾和伽羅瓦都有著微卷的頭發(fā)、清澈而略帶憂郁的眼睛，真是一對神奇的精靈。

阿貝爾和伽羅瓦

因為留級，伽羅瓦遇到了見習數(shù)學老師維納。維納向同學們推薦了勒讓德的《幾何原理》，比起赫赫有名的歐幾里得《幾何原本》，這本一七九四年版的數(shù)學著作更容易讀懂。據(jù)說如饑似渴的伽羅瓦只用兩天就讀完此書，而它原本是足足兩年課程的教材。值得一提的是，德意志數(shù)學天才黎曼恰好在那年出生，他在中學期間也只用六天時間讀完了勒讓德的另一部巨著《數(shù)論》。

伽羅瓦被數(shù)學迷住了，他貪婪地閱讀原始著作和文獻，就像如今的小朋友癡迷于哈利·波特系列故事，伽羅瓦完全沉浸于不久以前逝去的數(shù)學家拉格朗日的著作。面對此情此景，修辭老師無奈地說，“在伽羅瓦的作業(yè)里除了奇怪的幻想和粗心大意以外一無是處”，“他已經沉迷于數(shù)學的激動中……對其他事物視若無睹……如果他的父母只允許他研究數(shù)學，我認為那對他來說是最好的”。

兩年以后，伽羅瓦參加了巴黎綜合理工學校入學考試，結果名落孫山，自然是因為“在某個領域知識太多，而其他領域知識太少”。他只好在路易學校再讀一年，幸運的是，他進了理查德的數(shù)學專門班。理查德發(fā)現(xiàn)這位學生的數(shù)學天賦遠超其他同學，就給了他一等獎學金。老師保留了他所有課堂筆記本，正如母親和姐姐保留了他少年時代所有畫作，他們都認定伽羅瓦是天才。

無獨有偶。當阿貝爾十三歲那年離開故鄉(xiāng)，進入挪威首都奧斯陸（當時叫克里斯蒂安尼亞）一所教會學校時，也曾遭遇一些挫折。可是不久，他遇到一位叫霍爾姆伯的數(shù)學老師。霍爾姆伯非常欣賞阿貝爾，成了阿貝爾的啟蒙老師和第一個伯樂?；魻柲凡倘琊囁瓶实陌⒇悹枌W習高等數(shù)學，鼓勵他閱讀瑞士數(shù)學家歐拉、德國數(shù)學家高斯、法國數(shù)學家拉格朗日和泊松的著作。

一八二一年，十九歲的阿貝爾幸運地進入新成立的挪威第一所大學—皇家弗雷德里克大學（后易名奧斯陸大學）。更幸運的是，有三位教授愿意為聰明好學、家境貧困的阿貝爾解囊相助，其中一位教授允許阿貝爾隨意出入自己的家。另一位教授則資助他第一次離開挪威，去哥本哈根旅行。五年以后，阿貝爾又獲得挪威政府的旅行獎學金，經過柏林來到了巴黎。

三次和四次方程

說到五次方程求解的意義，我們要從古希臘說起。在古希臘，幾何學曾是數(shù)學的代名詞。柏拉圖學園的入口處寫著，“不懂幾何學的請勿入內”。而數(shù)學就像畢達哥拉斯定義的單詞詞根，指一切可以學到的知識，那更多的是一種哲學含義。究其原因，幾何學可以通過圖像，而不怎么需要文字和符號來推理表達，因此更容易自由發(fā)展，這也是歐幾里得幾何學得以率先誕生的原因。

對于一次和二次方程，因為比較簡單，在沒有方便的符號體系下，包括“四大文明”在內的古老文明都能自己找到解答，甚至知道利用根式給出的表達方法。只不過，有的民族只取正值解，有的民族（二次方程）只取一個解或實數(shù)解。而要說到一般的代數(shù)方程和它的求解，首先要提到丟番圖，他是古希臘最后一位數(shù)學大家，生活在公元三世紀的亞歷山大。

丟番圖最重要的著作是《算術》，這是一部劃時代的數(shù)學名著。共有十三卷，但很長時間人們只見到其中的六卷希臘文本。直到一九七三年，才在伊朗馬什哈德發(fā)現(xiàn)四卷阿拉伯文譯本。這十卷書中共有二百九十個數(shù)學問題，大多數(shù)是數(shù)論問題，其中希臘文本中的第二卷第八題是有關畢達哥拉斯數(shù)組。十七世紀《算術》拉丁文譯本出版以后，引起了法國數(shù)學家費馬的興趣，演變成赫赫有名的費馬大定理。除數(shù)論問題以外，《算術》還涉及一些代數(shù)問題和思想。但它不像之前的代數(shù)問題那樣披著幾何的外衣，而是還原代數(shù)本身的模樣。對于一次方程，丟番圖采用“移項”和“合并同類項”等技巧，這與我們現(xiàn)在的解題思路是一致的。對于二次方程，雖說丟番圖已懂得負數(shù)的運算法則，但只滿足于尋找正有理數(shù)解，且如果有兩個正根時，他只取較大的那個。

更有價值的是，丟番圖比較系統(tǒng)地提出了代數(shù)符號概念。例如，他用希臘字母的前幾個α、β、γ表示數(shù)字1、2、3，而用其他字母表示未知數(shù)不同的冪次。他采用速記的形式來表達高次方程，這樣的表達可以稱之為速記代數(shù)。十六世紀以前的歐洲，用一套符號使得書寫更為方便、簡潔的只有丟番圖一人。可以說，丟番圖使得代數(shù)從幾何形式中解脫出來，成為數(shù)學的一個重要分支。

值得一提的是，古代中國尤其是宋元時期的數(shù)學取得了輝煌的成就。南宋秦九韶發(fā)明了用迭代法求高次方程近似解（正根）的“正負開方術”，被現(xiàn)代人稱為秦九韶算法。元代李冶發(fā)明“天元術”，用特定漢字表示未知數(shù)，打破了以《九章算術》為代表的“文辭代數(shù)”。稍后朱世杰發(fā)明“四元術”，將其推廣到四個未知數(shù)的情形。他們的工作堪稱“半符號代數(shù)”。

在印度，七世紀的數(shù)學家婆羅摩笈多首先得到了0的運算法則，他給出了二次方程的求根公式，允許系數(shù)可正可負，他還用數(shù)上方加點的方式來表示負數(shù)，用不同的顏色首字母表示不同的未知數(shù)，效果與字母表達的方程十分接近。到了十二世紀，婆什伽羅給出的二次方程求根公式與現(xiàn)代的如出一轍，他還討論了個別的三次方程和雙二次方程。

阿拉伯數(shù)學家花拉子密生活在九世紀，他對二次方程做了全面系統(tǒng)的討論。更重要的是，他的著作《代數(shù)學》在一一四〇年被譯成拉丁文出版后，在歐洲被用作標準的教科書長達數(shù)個世紀，代數(shù)學（Algebra）因此書而得名，他本人的名字則成為“算法”（Algorithm）。與丟番圖一樣，花拉子密也享有“代數(shù)學之父”的美名。

時光到了十六世紀，在亞平寧半島，三次方程和四次方程的求解即將取得里程碑式的進展。在此之前，在哥倫布到達美洲兩年之后的一四九四年，他的意大利同胞數(shù)學家帕喬利在一部百科全書式的數(shù)學巨著最后以悲觀的語調寫道，“對于三次和四次方程，直到現(xiàn)在還不可能形成一般規(guī)則”。他還認定，那無疑與古希臘遺留下來的化圓為方問題一樣困難。

或許，正是為了挑戰(zhàn)帕喬利的悲觀論調，他的同胞數(shù)學家們接連取得了突破性的進展。先是歐洲最古老的博洛尼亞大學數(shù)學教授費羅解出了缺項的三次方程x3+mx=n（系數(shù)為正），接著，自學成才的塔爾塔利亞（意思是口吃者，起因于入侵法國士兵的砍刀）不僅也能解上述三次方程，同時他還會解方程x3+mx2=n（要求系數(shù)為正）。

一五三五年，在費羅去世九年后，他的徒弟菲爾奧與塔爾塔利亞有過一場公開的數(shù)學競賽。這是那個時代數(shù)學家的傳統(tǒng)，他們相互出同樣數(shù)量的題目（方程），然后在規(guī)定的時間內交卷，結果當然塔爾塔利亞大獲全勝。借這個東風，塔爾塔利亞后來完全解決了三次方程的求解問題，即與二次方程的求解一樣，通過根式來表達。

這場競賽引起了米蘭醫(yī)生卡爾達諾的注意，他本是醫(yī)術高超的名醫(yī)，卻嗜賭成性，家庭也遭遇不幸，妻子早逝，長子殺妻被處絞刑，幼子偷竊進了牢房。數(shù)學是卡爾達諾最大的安慰，他寫過一本研究概率的書，后來被解方程問題給迷住了?？栠_諾邀請塔爾塔利亞去米蘭，好酒好肉招待三天之后，在保證不外傳情況下，后者以詩歌的形式向他透露解三次方程的秘籍。

古希臘的畢達哥拉斯定理也是以詩歌的語言敘述的。塔爾塔利亞告知的解法是費羅已掌握的那類三次方程。卡爾達諾經過鉆研，把其他形式的三次方程也解了出來。協(xié)助卡爾達諾的是他的助理費拉里。費拉里十分聰明，緊接著他把四次方程的解也求出來了，即對一般的四次方程，他都可以通過轉化變?yōu)槿畏匠?，從而給出根式的一般解答。

一五四五年，卡爾達諾到博洛尼亞造訪了費羅的學生兼女婿納夫，看到費羅手稿上早就有塔爾塔利亞透露給他的解法之后，便在當年出版了《大術》一書，將三次方程和四次方程的解法公之于眾，其中提到了費羅、塔爾塔利亞和費拉里等人的工作。這部書轟動了歐洲數(shù)學界，卡爾達諾也成為響當當?shù)娜宋?。雖然書中提及塔爾塔利亞的貢獻，但后者對于卡爾達諾的背信棄義仍十分惱火。

塔爾塔利亞不僅公開指責卡爾達諾，而且要求與他直接競賽較量，仿佛為名譽或愛情而戰(zhàn)的一場決斗。對此正處于喪妻之痛的卡爾達諾保持了沉默，起身迎戰(zhàn)的是年輕的費拉里。結果在米蘭客場作戰(zhàn)的塔爾塔利亞因不太會解四次方程，未等裁決結果出來便離開了，后來郁郁寡歡抱恨而終。名聲大振并出任博洛尼亞大學教授的費拉里也樂極生悲，據(jù)說他最后是被貪財?shù)慕憬阌门舅赖摹?/p>

阿貝爾定理

三次和四次方程求解問題解決以后，五次方程自然擺在所有數(shù)學家面前。而自從一五四五年卡爾達諾出版《大術》，到阿貝爾上大學，時光已流逝了近三個世紀，這個棘手的問題依然存在。這期間，法國人韋達早已在一五九一年研究出二次方程根與系數(shù)關系的韋達定理，這個定理后來被荷蘭數(shù)學家吉拉德推廣到一般n次方程的情形。

不僅如此，韋達還把代數(shù)問題符號化，他用輔音字母表示已知數(shù)，元音字母表示未知數(shù)。遺憾的是，這種方法不容易區(qū)分已知數(shù)和未知數(shù)。后來，韋達的同胞笛卡兒建議，用最前面的字母a、b、c等表示已知數(shù)，用最后面的字母x、y、z等表示未知數(shù)。這樣的表示法一目了然，逐漸地被推廣到全世界并沿用至今。

代數(shù)方程的理論問題則要等到十八世紀末，由德國數(shù)學王子高斯來完成。一七九九年，二十二歲的高斯在其博士論文中首次嚴格證明了：任何實系數(shù)的n次方程至少有一個復根。由此人們不難推出，n次方程有n個復根。一八四九年，在慶祝取得博士學位五十周年之際，高斯給出了上述定理的第四個證明，他證明了：任何復系數(shù)的n次方程都至少有一個復根。這個定理被稱為代數(shù)基本定理。

現(xiàn)在，我們要說說阿貝爾的工作了。在中學最后一年，他雄心勃勃地試圖解決一般五次方程的根式求解問題。不久他找到了求解公式，他的老師霍爾姆伯看不出證明的破綻。于是，這篇文章便寄給了一位丹麥數(shù)學家，那位數(shù)學家也沒看出毛病，卻謹慎地建議他再舉例說明。斟酌之下，阿貝爾終于發(fā)現(xiàn)論證本身存在漏洞。

其實，拉格朗日在五次方程求解問題上也栽過跟頭。他后來認識到，用類似三次和四次方程求解的方法去導出五次方程的解是不可能的。比拉格朗日晚一輩的意大利數(shù)學家魯菲尼對這個問題也進行了一番努力，他寫成了一篇五百多頁的論文，證明一般五次方程不能通過一個公式求解。然而，他的證明既冗長又有漏洞，并未被人們接受，同時也鮮為人知。

上大學以后，阿貝爾也開始往相反方向使力。終于在一八二四年，他成功地證明了五次或五次以上的方程不存在一般根式解。可是，依然沒有人可以驗證他的證明。翌年，在教授們的幫助下，他獲得挪威政府的旅行獎學金，準備去拜訪西歐國家一些知名數(shù)學家?？墒?，阿貝爾只是在柏林遇到一位業(yè)余數(shù)學愛好者兼出版家克萊爾，他是繼霍爾姆伯之后第二個對他的事業(yè)有較大幫助的人。

克萊爾與霍爾姆伯都相信，阿貝爾是了不起的數(shù)學家?？巳R爾在一八二六年創(chuàng)辦了一本叫《純粹數(shù)學與應用數(shù)學雜志》的期刊，首卷即發(fā)表了阿貝爾的七篇論文，其中包括《四次以上方程的不可解證明》。在前三卷里，居然連續(xù)發(fā)表了阿貝爾的二十二篇論文，內容涉及面很廣，包含方程論、無窮級數(shù)、橢圓函數(shù)論等?？墒?，這本如今德國最重要的數(shù)學雜志在當時并沒有什么影響力。

在巴黎，那時和現(xiàn)在一樣，每到夏天大多數(shù)人都到海濱避暑去了。阿貝爾潛心于數(shù)學問題，完成了一篇關于超越函數(shù)的論文，遞交給法國數(shù)學界的元老勒讓德和權威柯西審閱，卻被忽視了。橢圓函數(shù)是復分析理論中非常重要的一種雙周期亞純函數(shù)，由阿貝爾首先定義，他把它看作橢圓積分的反函數(shù)。如今橢圓函數(shù)在數(shù)論和物理學中都有著廣泛的應用，與橢圓曲線和模形式也有著深刻的聯(lián)系。

后來，比阿貝爾小兩歲的德國數(shù)學家雅可比稱贊阿貝爾的這篇論文“也許是這個世紀最偉大的數(shù)學發(fā)現(xiàn)”。多年以后，年輕一代的法國數(shù)學家埃爾米特仍然贊嘆，這篇論文里“留下來的東西足夠讓數(shù)學家們忙碌五百年”。一八三〇年，為了彌補以往的過失，法國科學院同時授予阿貝爾和雅可比數(shù)學大獎。遺憾的是，前一年阿貝爾已經病逝。

再來說說讓阿貝爾獲得信心和旅行獎學金的那篇有關高于四次的方程不可解性的論文，在他出發(fā)旅行之前，便在奧斯陸印刷了好多份。可是，為了節(jié)省費用，阿貝爾把論文壓縮成只有六頁的篇幅。這樣一來，對大多數(shù)人來說，即便是數(shù)學同行，也幾乎像密碼一樣晦澀難讀了。其結果是，原先阿貝爾希望作為“名片”或敲門磚的論文沒有起到任何效果。

《數(shù)學傳奇：那些難以企及的人物》

高斯在哥廷根自然也收到一份，但他恐怕不會相信，這么一個世界性難題被一個名不見經傳的來自偏遠地區(qū)的年輕人用這么幾頁紙給解決了。高斯并沒有把它扔進廢紙簍，而是夾在一疊紙或某兩本書之間。高斯去世以后，有人在整理他的遺物時發(fā)現(xiàn)，內置阿貝爾論文的信封并沒有被裁開。在這一不幸事件中，蒙受損失的不僅是阿貝爾，也包括整個數(shù)學學科。

阿貝爾證明了高于四次的方程沒有一般的根式解的關鍵在于，他修正了魯菲尼證明中的一個缺陷，盡管他并不知曉后者的工作。阿貝爾證明的是如今被稱為阿貝爾定理的命題：如果一個方程能用根式求解，那么出現(xiàn)在根的表達式中的每個根式，一定可以表示成該方程的根和某些單位根的有理函數(shù)。正是利用這個定理，阿貝爾證明了五次或五次以上的方程沒有一般的根式解。

另一方面，阿貝爾并未否定對某些特殊的高次方程來說存在根式解的可能性。事實上，早在一八〇一年出版的《算術研究》里，高斯已經證明，分圓方程xp-1=0（p為素數(shù)）可以根式求解。阿貝爾也考慮了一類能用根式求解的特殊方程，現(xiàn)在這類方程被稱為阿貝爾方程。尤其是，他引進了兩個十分重要的概念—“域”和“不可約多項式”。遺憾的是，因為早逝，他沒有完全解決方程的求解問題，這項工作要留待伽羅瓦來完成。

一八二七年，阿貝爾萬分無奈地返回祖國。之后他的生活變得更為艱難，沒有固定的工作和收入，只能以私人授課維持生計。翌年，他在一所大學找到代課教師職位，可是不久，他的身體卻垮了，他得了肺結核（一說他在巴黎時已患上），這在那個年代是不治之癥（黎曼患的也是同一種疾病）。一八二九年四月六日，不滿二十七周歲的阿貝爾走完了他短暫的一生。

令人欣慰的是，阿貝爾生前體驗過愛的滋味。一八二三年，即阿貝爾證明高于四次的方程不可解的頭一個夏天，他在一位教授的資助下，去哥本哈根過暑假，在那里見到了幾位著名數(shù)學家。在哥本哈根，他遇見了同胞克里斯汀，那是在她叔叔家的舞會上。當樂隊演奏起華爾茲時，兩人尷尬地站在那里，他們對這一新舞曲不甚了解，于是一起悄悄地離開。

第二年圣誕節(jié)過后，阿貝爾向他的同學和老師們宣布他訂婚了。但阿貝爾尚且不能養(yǎng)活自己，更無力迎娶克里斯汀。一八二八年圣誕節(jié)，他乘雪橇回去看望未婚妻，途中病情加重；雖然暫時的好轉讓他們一起享受了假期，但他最終沒有熬過那年春天。

克里斯汀

就在阿貝爾去世后的第三天，克萊爾的一封信到達挪威。原來克萊爾一直在柏林為阿貝爾找工作，最終成功地讓他獲得柏林大學的教授職位。但是，這個好消息來得太晚了。此外，四位法國科學院院士也曾聯(lián)袂給瑞典－挪威國王寫信，希望他重視阿貝爾這位天才。除了證明高于四次的方程不存在根式解以外，阿貝爾還是橢圓函數(shù)論的奠基人之一，他為無窮級數(shù)理論奠定了嚴密的基礎，同時求解出了第一個積分方程。

伽羅瓦理論

一八二七年春天，就在阿貝爾去世前五天，還是中學生的伽羅瓦發(fā)表了第一篇論文，那是一篇有關連分數(shù)的論文，但他并不滿足于此。與阿貝爾一樣，伽羅瓦起初也把目標對準五次和五次以上方程的可解性問題，他著力于尋找這類方程的一般根式解，以求一鳴驚人?？墒呛髞恚厕D移了目標。

為了研究方程的可解性問題，伽羅瓦發(fā)明了“群”的概念，進而他建立起一門新的數(shù)學分支，現(xiàn)在人們稱這套方法為伽羅瓦理論。所謂群，是由一些元素組成的，記為G（group）。這些元素之間存在一種運算×，它滿足四條性質：封閉性，a和b屬于G，則a×b也屬于G；結合律，a、b、c屬于G，則(a×b)×c=a×(b×c)；存在單位元1屬于G，即對任意a屬于G，滿足1×a=a×1=a；對任何a屬于G，存在逆元素b，a×b=b×a=1。

如同高斯所證明的，每個n次復系數(shù)方程有n個復根。依照排列組合原理，n個根有n階乘（n!）個置換，它們在乘法意義上構成置換群Sn。例如，三次方程的三個根x1、x2、x3組成的置換群S3共有6個元素，如果用下標表示的話便是（1），（12），(13)，(23)，（123）和（132），其中（1）表示恒等置換，（12）表示x1和x2互換，而（123）表示x1、x2、x3輪換。

按照拉格朗日定理，對有限群來說，子群的階數(shù)（元素個數(shù)）必整除群的階數(shù)，兩者相除所得的整數(shù)叫指數(shù)。伽羅瓦定義了正規(guī)子群，它是一種性質較好的子群。例如，（1）（123）（132）組成的子群H是正規(guī)子群，階數(shù)最高的正規(guī)子群稱為最大正規(guī)子群。對于方程的可解性判斷來說，伽羅瓦理論的精妙之處在于：n次方程根式可解當且僅當它的置換群Sn的最大正規(guī)子群系列之間的指數(shù)均為素數(shù)。

例如，S3的最大正規(guī)子群系列為S3、H、單位元群，其指數(shù)6/3=2，3/1=3，均為素數(shù)，故根式可解。而對于S4來說，它有24個元素，其最大正規(guī)子群G4有12個元素，G4的最大正規(guī)子群G3有4個元素，G3的最大正規(guī)子群G2有2個元素，最大正規(guī)子群系列的指數(shù)分別為24/12=2，12/4=3，4/2=2，2/1=2，均為素數(shù)，故也根式可解。

當n>4時，Sn的最大正規(guī)子群An共有n!/2個元素，而An的正規(guī)子群只有單位元群，因此其最大正規(guī)子群系列的指數(shù)為2和n!/2，后者當n>4是必不為素數(shù)。依據(jù)伽羅瓦理論，方程沒有一般根式解。多么美妙簡潔的判斷和證明！這是十八歲的伽羅瓦的獨立發(fā)現(xiàn)。它先是由理查德帶給柯西，爾后又以《一個方程可以通過開方解出的條件》為題，遞交給法蘭西科學院，參與那年的數(shù)學大獎賽。

遺憾的是，法國數(shù)學的執(zhí)牛耳者柯西忽視了伽羅瓦的論文（此時勒讓德已老態(tài)龍鐘），科學院秘書傅里葉又突然逝去，遺失了伽羅瓦的論文。如前所說，最后大獎頒給了德國數(shù)學家雅可比和已經去世的阿貝爾。說到柯西，他是歷史上最多產的數(shù)學家之一，以他名字命名的定理遍布高等數(shù)學教程，而傅里葉發(fā)明的三角級數(shù)理論是應用數(shù)學最強有力的工具之一。

說到伽羅瓦理論，那是一種更一般的理論形式，這要依賴阿貝爾首先提出的“域”的概念。域是至少有兩個元素的數(shù)集，它對應加減乘除（除數(shù)不為0）運算是封閉的，記為F（field）。正如群有子群，數(shù)域也有子域，若K是F的子域，則F是K的擴域。顯而易見，有理數(shù)、實數(shù)和復數(shù)都是域。有理數(shù)域是最小的域，實數(shù)域和復數(shù)域都是它的擴域。此外，形如a+b（a和b是有理數(shù)）的全體也是域。

伽羅瓦定義了“方程的群”（伽羅瓦群），它是由一部分置換組成的子群，這些置換保持根的代數(shù)關系不變，即具有對稱性。伽羅瓦證明了，對任意n，總能找到一些方程，其伽羅瓦群為整個Sn。而伽羅瓦擴域基本定理是說，方程的系數(shù)域與根域之間的所有域與伽羅瓦群的所有子群之間存在一一對應關系。這是伽羅瓦理論的核心，它幫助我們通過研究較為簡單的置換群來解決復雜的域的問題。

報考綜合理工學校失利和成果兩次錯失被承認的機會，遠不是伽羅瓦最背運的遭遇。十八歲那年，他又一次報考綜合理工學校，其結果是“一個較高智商的考生在一個較低智商的考官面前失敗了”。從此，這所大學對他永遠關閉了大門，因為只允許每個考生報考兩次。據(jù)說，一道口試題他明明答對卻被判錯。離開考場前，憤怒的伽羅瓦把黑板擦擲到考官臉上。

最沉重的打擊是父親的慘死，那件事發(fā)生在他第二次報考綜合理工學校前夕。作為鎮(zhèn)長的老伽羅瓦支持市民反對神父，成為教士們惡意攻擊的對象，一個詭計多端的年輕神父利用鎮(zhèn)長喜歡寫詩的癖好，模仿他的語氣寫了一首下流骯臟的詩，并簽上鎮(zhèn)長大名在市民中間散發(fā)。這讓極其正派的鎮(zhèn)長無地自容，他獨自去了巴黎，在離兒子學校不遠處某個地方打開煤氣窒息而亡。

伽羅瓦就讀的巴黎路易學校

進不了綜合理工學校，伽羅瓦只得去投考師范預科學校，即如今赫赫有名的巴黎高等師范學校，當時它的聲望并不高。盡管遇到麻煩，偏科嚴重的伽羅瓦還是被錄取了。一八三〇年，伽羅瓦發(fā)表了兩篇方程論文和一篇數(shù)論論文，后者首次提出了有限域的概念。然而，革命的槍聲響起，義無反顧參與其中的伽羅瓦不久被學校開除。第二年，他又兩次作為政治犯被捕，最后一次判了六個月徒刑，關押在巴黎的圣佩拉杰監(jiān)獄。

一八三二年春天，巴黎霍亂流行，每天有上百人死亡。伽羅瓦得以被假釋，從監(jiān)獄轉移到“康復之家”。在那里，他經歷了一生唯一的戀愛?？墒牵@次戀愛既短暫又不幸。不滿十七歲的少女斯蒂芬妮是“康復之家”主人的女兒，她在激起伽羅瓦對其產生興趣后又冷淡了他。他隨后寫信給一位朋友，“我對一切的幻想已破滅，甚至對愛情和名聲的幻想也已破滅”。

遲來的榮譽

二〇〇二年八月五日是阿貝爾二百周年誕辰，這一天挪威政府宣布設立阿貝爾數(shù)學獎，以彌補鄰國瑞典的諾貝爾所設獎項的缺陷。按照挪威國王的提議，阿貝爾獎的獎金接近諾貝爾獎，每屆獲獎人數(shù)最多兩名，少于諾貝爾科學獎的獲獎人數(shù)。第一屆阿貝爾獎于二〇〇三年頒發(fā)，得主是伽羅瓦同胞塞爾。至今，此獎設立還不到二十年，卻已取代歷史悠久的沃爾夫獎，成為數(shù)學領域最重要的終身成就獎。

阿貝爾數(shù)學獎每年在奧斯陸大學法學院頒發(fā)

在阿貝爾之前，挪威從未產生過一位世界級的科學或文化巨人，但在阿貝爾之后，卻在不同領域接連出現(xiàn)彪炳史冊的人物：戲劇家易卜生、作曲家格里格、藝術家蒙克、探險家阿蒙森。這其中，寫作了《玩偶之家》和《皮爾·金特》的易卜生是在阿貝爾去世前一年出生的，而蒙克頻頻在憂郁、驚恐的精神控制下，以扭曲的線條表現(xiàn)暗淡的人生，又常讓人想起阿貝爾的悲慘命運。

在數(shù)學領域，挪威也是人才輩出。例如索菲斯·李（Sophus Lie，1842-1899），二十一世紀兩個十分重要的數(shù)學分支——李群和李代數(shù)均得名于他。一八七二年，德國數(shù)學家克萊因發(fā)表了《埃爾蘭根綱領》，試圖用群論的觀點統(tǒng)一幾何學乃至整個數(shù)學，他所依賴的正是李的工作。二〇〇七年過世的美國數(shù)學家賽爾伯格也是挪威人，曾因給出素數(shù)定理的初等證明榮獲菲爾茨獎。

在阿貝爾去世三年以后，伽羅瓦面臨一場決斗，地點在巴黎郊區(qū)一個小湖附近。至于決斗的對手，在相隔近兩個世紀后仍然撲朔迷離。政敵、學弟，抑或女孩的父親？反正最后的結局是，伽羅瓦被對手射中了腹部，并不是他的槍法不準，而是兩把手槍里只有一把有子彈。后來，他被一個農夫送到醫(yī)院，于次日去世。只有弟弟被通知趕到醫(yī)院，伽羅瓦安慰他說，“不要哭，我需要我的全部勇氣在二十歲時死去”。

在決斗前夜，伽羅瓦預感到自己的結局不妙，他寫下了三封絕筆信。兩封是給他的政黨同道，希望他們不要責怪殺死他的人，另一封是科學遺囑，幾乎完整地表述了深奧的伽羅瓦理論。伽羅瓦去世兩天后，他的遺體被安葬在蒙巴納斯公墓，具體地點無人知曉。而在他故鄉(xiāng)小鎮(zhèn)拉賴因堡的公墓里，在他的親人們安葬的墓旁邊，后來豎立起一座伽羅瓦紀念碑。

伽羅瓦的工作開啟了近世代數(shù)的研究，不僅解決了方程可解性這一難題，更重要的是，群概念的引進導致代數(shù)學在對象、內容和方法上的深刻變革。實際上，環(huán)、域和向量空間等代數(shù)結構也可看作是具有附加運算和公理的群。群作為“數(shù)學抽象的最高藝術”，有著越來越廣泛的應用，從晶體結構到基本粒子，從量子力學到材料科學，群論也是公鑰密碼術的核心。正是由于阿貝爾和伽羅瓦的工作，數(shù)學家們得以把更多精力投入到數(shù)學內部的發(fā)展和革新。

一九二九年，在阿貝爾逝世一百周年之際，挪威發(fā)行了一套四枚不同面值和顏色的紀念郵票。半個世紀以后，他的肖像印在挪威面值最高的五百克朗紙幣上。在阿貝爾的故鄉(xiāng)弗羅蘭和首都奧斯陸，都立有他的塑像。相比之下，法國杰出的人才實在太多了，包括偉大的數(shù)學家。不過，巴黎第二十區(qū)有條街道以伽羅瓦的名字命名。

伽羅瓦紀念碑

無論如何，阿貝爾和伽羅瓦這對數(shù)學精靈生活在同一個時代，世所罕見。盡管他們成長的環(huán)境截然不同，一個在貧窮落后的挪威荒島，一個在科學發(fā)達的法國首都，命運卻十分相似。雖說他們念中學時都遇到一位好老師，但他們的偉大成就生前都被忽視了。最后的結局是，一個死于疾病，一個死于決斗。而在他們身后，都被公認為是十九世紀乃至是人類歷史上最偉大的數(shù)學家之一。

盡管生前阿貝爾寫作和發(fā)表的論文比伽羅瓦要多許多，最終的成就卻旗鼓相當。代數(shù)里有所謂的阿貝爾群和伽羅瓦域。群是伽羅瓦的發(fā)現(xiàn)，阿貝爾群指任意兩個元素的運算交換秩序之后保持不變的群，即交換群；域是阿貝爾的創(chuàng)造，伽羅瓦域指域中的元素只有限多個，即有限域?？梢哉f，群和域這對名詞意味著阿貝爾與伽羅瓦這兩位數(shù)學天才的珠聯(lián)璧合。

本文首發(fā)于《書城》（2021年4月號），澎湃新聞經授權刊發(fā)。