金磊 蕭簫 發自 凹非寺

量子位 報道 | 公眾號 QbitAI

很多數學系學生可能大三才剛剛接觸“組合數學”，而一位21歲的MIT本科生已經悄悄解決了這個分支中最重要的一個理論——拉姆齊數。

他就是Ashwin Sah，2016年的IMO金牌獲得者，2018年還獲得過首屆阿里巴巴全球數學競賽銀獎。

并且，他只用了兩年半就順利從MIT畢業。

這個拉姆齊數讓20世紀最高產的天才數學家保羅·埃爾德什研究了一生，無數數學家前赴后繼，其中不乏阿貝獎得主，如今被Sah的研究又向前推進一大步。

對于Sah在圖論上取得的前沿突破，加州理工學院的David Conlon教授如此評價：

他作為本科生，已經做了足夠勝任教職的工作。

因為這項矚目的成就，外媒Quanta Magazine近日對這位「天才少年」進行了深度采訪。

那么他研究的“拉姆齊數”究竟是什么？在數學里又有著怎樣的重要意義？

提升拉姆齊數上限，推動圖論前沿進展

想知道Sah推動的拉姆齊數研究是什么，先要了解拉姆齊定理。

關于這個定理，有一個簡單的應用實例：

在6個人當中，無論他們之間的關系如何，必定有3個人互相認識，或者3個人互不相識。

如果用圖論的方法來思考，可以這么證明：

假設兩個人之間如果互相認識，就用藍色線連起來，如果彼此不認識，就用紅色線連起來，那么無論怎么連線，必然能在6個點中連出三邊同色的三角形。

但如果只有5個人的話，很快就能找到一種連不出同色三角形的方法。小于5的數，也能被用同樣的方法證明不符合這一結論。

現在，就可以引出拉姆齊數的定義了：

找一個最小的自然數R(k,l)=n ，使得n個人中必定有k個人互相認識或l個人互不相識。

其中，n就是拉姆齊數。

也就是說，R(3,3)=6，這里的6就是拉姆齊數。

看起來拉姆齊數似乎并不難找，但當頂點數稍微增加一點時，求解拉姆齊數的難度卻會大大增加。

1930年，拉姆齊本人求出R(3,3)=6，1995年，數學家把求解推進到R(4,5)=25，至于R(5,5)是多少，數學家到現在也不知道，只知道它介于43到48之間。

這是為什么呢？

想象一下，要連線的頂點數從6個變成了40個，哪怕只用2種顏色隨機在兩點間連線，也有2780種方法。

△28個頂點，連一次線就已經達到這種密度

換算下來，就是要進行6.35×10234次連線判斷，對比宇宙中所有的粒子總數，也不過3.28×1080個。

這還只是2種顏色的情況，至于3種顏色、4種顏色……

要在這么多種連線的組合里，找到5個點兩兩相連是否必然存在的情況，幾乎是不可能做到的事情。

雖然無法求出拉姆齊數的準確值，但是數學家們一直在想辦法限制其范圍。

對于R(5,5)來說，其上限和下限分別就是48和43。

從1930年起，就有科學家開始研究拉姆齊數的上下限的公式，來縮小拉姆齊數的范圍。

著名數學家保羅·埃爾德什研究了幾十年，得到了一個著名的上下限公式：

然而這個范圍還是不夠小。

Ashwin Sah在今年5月提出的證明方法，基于2009年Conlon的論文進行了改進，并提出了兩種顏色的拉姆齊數的新上限。

論文給出的推論，被許多業內人士認為是使用現有研究線索可以獲得的最佳結果。

他給出的上限計算公式，對于R(4,4)以上的拉姆齊數都有效。

目前這一論文所采用的方法，已經被少數數學家進行了優化。

對此，David Conlon教授表示：

他將這種方法推理到了極限。

能被開創這種方法的作者給予如此高度的評價，也說明了Sah所完成工作的難度和前沿性。

10月29日，專門針對美國、加拿大和墨西哥大學生在數學領域表現優異的摩根獎，授予了Sah和另外一名學生Mehtaab Sawhney，以表彰他們本科時期在離散數學、概率等領域作出的貢獻。

相較于同齡人，在本科階段就能達到這樣的數學水平，也與Sah的成長經歷密不可分。

從小展露數學光芒

除了自身的天賦外，Sah一直保持著對數學的鉆研精神。

外媒Quantamagazine給予他這樣的評價：

A Life of Math.

這不僅僅是基于他在近期取得的成就，而是從小就與數學結下了的不解之緣。

Ashwin Sah出生在美國俄勒岡州的波特蘭市，他在回憶兒時情節時表示：

我現在比較印象深刻的兒時記憶，是媽媽在教我一些基本的算術。

△ 11歲的Ashwin Sah在做數學題

2016年夏天，年僅16歲的他，便在香港舉辦的國際數學奧林匹克競賽（IMO）中，斬獲金牌。

可以說，Ashwin Sah在一次次的競賽中，「品嘗」到了高等數學的魅力。

緊接著第二年，也就是在17歲的年紀，他便順利進入MIT。

兩年半MIT畢業，師從華裔教授趙宇飛

事實上，從2017年進入MIT學習，到2020年本科畢業、讀上研一，Ashwin Sah也只用了兩年半的時間。

自2018年1月以來，到今年11月，算上預印本，Ashwin Sah一共發表了27篇論文。

他的本科論文已經有引用量，最高的一篇有8人引用，這篇是關于不規則圖中獨立集的數目的。

其他兩篇引用較高的文章，雖然人數不多，但他也都是一作。

即使部分還是預印本，但本科期間就能獲得這么多的研究成果，的確不得不令人贊嘆。

除了自身的天賦與努力外，還有2位「伯樂」般的人物，對他的數學發展起到了至關重要的作用。

首先是他的導師，MIT華裔知名數學教授趙宇飛。

在MIT的第一年，Ashwin Sah修了一門課程，是與組合數學相關的研討會。

但要知道，這門課程難度是研究生水平，而且匯集了全世界頂尖數學人才。

但即便如此，Ashwin Sah也在此脫穎而出。

作為這門課程的老師，趙宇飛這樣評價道：

盡管他只是大一的學生，但很顯然，他已經掌握了這門課程。

第二位重要人物，是比Ashwin Sah高一年級的學長，Mehtaab Sawhney。

Mehtaab Sawhney是在課堂上與Ashwin Sah相識，很快便成為了朋友。

這期間，他們共同進行了許多研究，主要與離散數學相關，包括其中的圖論、概率和隨機矩陣等。

但當時他們的所學知識還是有一定的局限，所以解決的問題普遍都比較簡單，是不需要多年經驗積累的那種。

正如Mehtaab Sawhney所說：

我喜歡解決的問題，是那種可以從基本原理開始思考，而不是那些需要翻閱大量的文獻，或者擁有大量理論基礎才能思考的問題。

趙宇飛教授也會對他們進行指導，例如教他們如何寫正式的論文。

他還會「派」給他們一些特定的問題，讓他們去做研究，本以為會讓他倆忙活一段時間。

但令趙宇飛萬萬沒有想到的是……往往第二天，他們就把答案給交上來了。

就是如此的動力和效率，讓他們在短短三年的時間里，能夠完成幾十篇論文。

趙宇飛對他們的評價非常之高，認為是他們所取得的成就是史無前例：

（MIT）的本科生研究有著悠久的歷史和傳統，但在論文的質量和數量上，都達不到Ashwin Sah和Mehtaab Sawhney的水平。

目前，這兩位小伙伴已經步入研究生生涯，他們還是保持著高頻率的「會面」，用Sawhney的話就是：

我們每天見面一兩次，每次五六個小時。

即便存在疫情等客觀原因，他們還是會保持非常高頻率的信息互動。

「羨慕有研究方向高度重合的伙伴」

對于學生的報道，MIT助理教授趙宇飛第一時間進行了轉發，表示祝賀。

網友們也第一時間送上了自己的祝福，并表示這樣的故事非常激勵自己，“就像一盆冷水潑到我的臉上，提醒我繼續不斷努力。”也有人單純對這份研究進展感到驚喜，并引用了Paul Erdos有關拉姆齊數的表述：

如果外星人要入侵地球，除非我們能給出R(5,5)的答案，那我們就算是有最聰明的人和計算機，也得用一年時間；要是外星人要R(6,6)的答案的話，那別想了，我們主動進攻吧。

當然，對于他的研究經歷，更多的是表示羨慕的網友：找一個研究方向高度重合的伙伴，共同提升效率，可是件非常不容易的事情。

那么，對于Ashwin Sah的經歷，你有什么感想？

歡迎在評論區留言~

論文地址：

https://arxiv.org/abs/2005.09251

參考鏈接：

https://www.quantamagazine.org/mit-undergraduate-math-student-pushes-frontier-of-graph-theory-20201130/

http://www.ams.org/prizes-awards/paview.cgi?parent_id=19

http://www.mit.edu/~asah/research.html

https://yufeizhao.com/blog/

— 完 —

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原標題：《MIT數學最強本科生：2年半畢業，20多篇論文在手，還推動了停滯幾十年的數學研究》

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